Rozkład mieszany

[filas_m]

Witam mam problem z rozwiązaniem tego zadania ćwiczeniowiec powiedział nam tylko, że jest to rozkład mieszany natomiast nie naprowadził w jaki sposób zrobić to zadanie prosiłbym o rozwiązanie bądź jakieś wskazówki.

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) mają dystrybuante

\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 \ dla \ x \le -1 \\ \frac{1}{2}x+1 \ dla \ -1<x \le 0\\ 1 \ dla \ x>0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x=-2x_{1}-5x_{2}+10}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \EE X \ i \ D^{2}X}\)

[acmilan]

Czyli te zmienne mają identyczne rozkłady?
Z dystrybuanty widać, że jest masa prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w \(\displaystyle{ -1}\), a na odcinku \(\displaystyle{ (-1,0]}\) jest rozłożona reszta równomiernie.
Co tam jest dokładnie we wzorze na \(\displaystyle{ x}\)? Dzielenie?

[filas_m]

Czy te zmienne mają identyczne rozkłady niewiem, wiem tylko tyle że prowadzący powiedział że jest to rozkład mieszany.

X zmieniłem sory ukośnik mi się tam wkradł wcześniej

[acmilan]

A, no to jest proste. Myślę, że mają. Musisz najpierw policzyć wartość oczekiwaną i wariancję pojedynczej zmiennej.

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{1}=\mathbb{E}X_{2}=\frac{1}{2}\cdot(-1)+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_{1}^{2}=\mathbb{E}X_{2}^{2}=\frac{1}{2}\cdot(-1)^{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{8}}\)

\(\displaystyle{ D^{2}X_{1}=D^{2}X_{2}=\mathbb{E}X_{1}^{2}-(\mathbb{E}X_{1})^{2}=\frac{1}{16}}\)

I teraz zmiennej \(\displaystyle{ X=-2X_{1}-5X_{2}+10}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\mathbb{E}\left(-2X_{1}-5X_{2}+10\right)=-2\mathbb{E}X_{1}-5\mathbb{E}X_{2}+10=15\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ VarX=Var\left(-2X_{1}-5X_{2}+10\right)=4VarX_{1}+25VarX_{2}=1\frac{13}{16}}\)

[filas_m]

\(\displaystyle{ -1}\) wziąłeś ponieważ jest ograniczona z lewej strony ale skąd się wzięło \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)
Przy liczeniu \(\displaystyle{ E X_{1}}\)

[acmilan]

Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ta zmienna ma wartość \(\displaystyle{ -1}\) --> stąd wziąłem \(\displaystyle{ -1}\).
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ta zmienna jest w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0]}\), a środek tego przedziału to \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) --> stąd wziąłem \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\).