pudełka zapałek

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
olusia756
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 24 lis 2012, o 12:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

pudełka zapałek

Post autor: olusia756 »

Matematyk wkłada do każdej kieszeni spodni nowe pudełka zapałek po 50 sztuk w każdym. Ilekroć potrzebna mu jest zapałka sięga do którejś z kieszeni -prawej lub lewej z prawdopodobieństwem 0,5. W pewnym momencie natrafia po raz pierwszy na puste pudełko. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku znajduje się wtedy dokładnie jedna zapałka.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

pudełka zapałek

Post autor: Adifek »

Mamy \(\displaystyle{ 2n}\) zapałek w dwóch kieszeniach (po \(\displaystyle{ n}\) w każdej). Wyciągamy tak długo, aż wsadzimy rękę do pustej kieszeni, powiedzmy do lewej. Tzn., że z lewej kieszeni ciągnęliśmy \(\displaystyle{ n+1}\) razy, gdzie ten ostatni, to już pusta kieszeń. Chcemy, by w drugiej kieszeni było wtedy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) zapałek. Tzn., że ciągnęliśmy \(\displaystyle{ n-k}\) razy z prawej kieszeni.

Wiemy na pewno, że ostatnie sięgnięcie po zapałkę było z lewej kieszeni. Stąd musimy znaleźć prawdopodobieństwo wyciągnięcia \(\displaystyle{ n}\) razy z lewej i \(\displaystyle{ n-k}\) z prawej:

\(\displaystyle{ \left[ {2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}\right] \cdot \frac{1}{2}}\)

To w kwadratowym nawiasie to po prostu schemat Bernoulliego - w \(\displaystyle{ 2n-k}\) próbach \(\displaystyle{ n}\) zapałek z lewej kieszeni. Ta jedna druga na samym końcu wynika z tego, że jako ostatnią musimy wybrać lewą kieszeń, a wybieramy ją z prawdopodobieństwem 0,5.

Jednak cały czas skupiliśmy się na tej lewej kieszeni (żeby móc to sobie lepiej wyobrazić). Ale przecież prawa jest równie dobra - stąd całość trzeba pomnożyć jeszcze przez dwa.

Ostatecznie dostajemy:

\(\displaystyle{ P={2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}}\)

Jest to tzw. zadanie Banach o zapałkach. Jeśli moje rozwiązanie do Ciebie nie trafia, łątwo znajdziesz w internecie inne
ODPOWIEDZ