pudełka zapałek
pudełka zapałek
Matematyk wkłada do każdej kieszeni spodni nowe pudełka zapałek po 50 sztuk w każdym. Ilekroć potrzebna mu jest zapałka sięga do którejś z kieszeni -prawej lub lewej z prawdopodobieństwem 0,5. W pewnym momencie natrafia po raz pierwszy na puste pudełko. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku znajduje się wtedy dokładnie jedna zapałka.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
pudełka zapałek
Mamy \(\displaystyle{ 2n}\) zapałek w dwóch kieszeniach (po \(\displaystyle{ n}\) w każdej). Wyciągamy tak długo, aż wsadzimy rękę do pustej kieszeni, powiedzmy do lewej. Tzn., że z lewej kieszeni ciągnęliśmy \(\displaystyle{ n+1}\) razy, gdzie ten ostatni, to już pusta kieszeń. Chcemy, by w drugiej kieszeni było wtedy dokładnie \(\displaystyle{ k}\) zapałek. Tzn., że ciągnęliśmy \(\displaystyle{ n-k}\) razy z prawej kieszeni.
Wiemy na pewno, że ostatnie sięgnięcie po zapałkę było z lewej kieszeni. Stąd musimy znaleźć prawdopodobieństwo wyciągnięcia \(\displaystyle{ n}\) razy z lewej i \(\displaystyle{ n-k}\) z prawej:
\(\displaystyle{ \left[ {2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}\right] \cdot \frac{1}{2}}\)
To w kwadratowym nawiasie to po prostu schemat Bernoulliego - w \(\displaystyle{ 2n-k}\) próbach \(\displaystyle{ n}\) zapałek z lewej kieszeni. Ta jedna druga na samym końcu wynika z tego, że jako ostatnią musimy wybrać lewą kieszeń, a wybieramy ją z prawdopodobieństwem 0,5.
Jednak cały czas skupiliśmy się na tej lewej kieszeni (żeby móc to sobie lepiej wyobrazić). Ale przecież prawa jest równie dobra - stąd całość trzeba pomnożyć jeszcze przez dwa.
Ostatecznie dostajemy:
\(\displaystyle{ P={2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}}\)
Jest to tzw. zadanie Banach o zapałkach. Jeśli moje rozwiązanie do Ciebie nie trafia, łątwo znajdziesz w internecie inne
Wiemy na pewno, że ostatnie sięgnięcie po zapałkę było z lewej kieszeni. Stąd musimy znaleźć prawdopodobieństwo wyciągnięcia \(\displaystyle{ n}\) razy z lewej i \(\displaystyle{ n-k}\) z prawej:
\(\displaystyle{ \left[ {2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}\right] \cdot \frac{1}{2}}\)
To w kwadratowym nawiasie to po prostu schemat Bernoulliego - w \(\displaystyle{ 2n-k}\) próbach \(\displaystyle{ n}\) zapałek z lewej kieszeni. Ta jedna druga na samym końcu wynika z tego, że jako ostatnią musimy wybrać lewą kieszeń, a wybieramy ją z prawdopodobieństwem 0,5.
Jednak cały czas skupiliśmy się na tej lewej kieszeni (żeby móc to sobie lepiej wyobrazić). Ale przecież prawa jest równie dobra - stąd całość trzeba pomnożyć jeszcze przez dwa.
Ostatecznie dostajemy:
\(\displaystyle{ P={2n-k \choose n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n} \left( \frac{1}{2}\right)^{n-k}}\)
Jest to tzw. zadanie Banach o zapałkach. Jeśli moje rozwiązanie do Ciebie nie trafia, łątwo znajdziesz w internecie inne