Rozkład normalny z parametrami

[matpol]

Zmienna X ma rozkład normalny z parametrami m i \(\displaystyle{ \sigma}\). Wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=aX+b, a \neq 0}\) również ma rozkład normalny. Wyznaczyć parametry tego rozkładu.

[miodzio1988]

Jest to bardzo znany fakt. Bez problemu to w necie znajdziesz

[matpol]

Szukam i nic mi przydatnego nie wyskakuje.

[lokas]

\(\displaystyle{ P\left( Y \le t\right) =P\left( aX+b \le t\right)=P\left( X \le \frac{t-b}{a} \right)=P\left( \frac{X-m}{\sigma} \le \frac{\frac{t-b}{a}-m}{\sigma} \right)=\Phi\left( \frac{\frac{t-b}{a}-m}{\sigma}\right)=\Phi\left( \frac{t-(b+am)}{a\sigma} \right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ Y \sim N\left(b+am ; \ a\sigma\right)}\)