Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkład \(\displaystyle{ \text{Exp}(\lambda)}\).
Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z = \frac{X}{X+Y}}\).
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej
Wyszedł mi rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\)
Znajdź gęstość \(\displaystyle{ f}\) wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) (skorzystaj tutaj z niezależności). Teraz już wystarczy policzyć:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{X+Y}<t \right)}\)
w zależności od \(\displaystyle{ t}\), tzn. gdy \(\displaystyle{ t<0}\) (oczywiste), gdy \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) i gdy \(\displaystyle{ t>1}\). W ostatnim przypadku sprowadza się to do
\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{X+Y}<t \right)= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f dxdy=1}\).
Przypadek \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) spróbuj policzyć sam.
Znajdź gęstość \(\displaystyle{ f}\) wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) (skorzystaj tutaj z niezależności). Teraz już wystarczy policzyć:
\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{X+Y}<t \right)}\)
w zależności od \(\displaystyle{ t}\), tzn. gdy \(\displaystyle{ t<0}\) (oczywiste), gdy \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) i gdy \(\displaystyle{ t>1}\). W ostatnim przypadku sprowadza się to do
\(\displaystyle{ P \left( \frac{X}{X+Y}<t \right)= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f dxdy=1}\).
Przypadek \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) spróbuj policzyć sam.