Rozkład zmiennej losowej

[Studentka_mat]

Z pewnego przystanku autobusowego pojazdy odjeżdzają regularnie co 10 min. Pasażer przychodzi na przystanek w przypadkowym momencie czasu. Określić rozkład zmiennej losowej wyrażającej czas oczekiwania pasażera na autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania będzie w granicach od 5-8min? Jaki jest średni czas oczekiwania na odjazd autobusu na tym przystanku?

[Frmen]

Jest jakiś powód by nie był to rozkład jednostajny ciągły ?

[Studentka_mat]

Właśnie wydaje mi się, że to będzie rozkład jednostajny ciągły na przedziale [0,10] i wtedy funkcja gęstości miałaby wzór:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 0\ \ \ \ dla\ x<0\\ \frac{1}{10} \ \ dla\ 0 \le x \le 10\\ 0 \ \ \ \ dla\ x>10 \end{cases}}\)
zaś dystrybuanta wyrażać się będzie wzorem:
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\ \ \ \ dla\ x<0\\ \frac{x}{10} \ \ dla\ 0 \le x \le 10\\ 1 \ \ \ \ dla\ x>10 \end{cases}}\)
Ale nie wiem co dalej.

[lokas]

Rozkład jest dobry, pozostaje tylko policzyć \(\displaystyle{ P\left( 5\le X \le 8\right)=F(8)-F(5)}\)
A drugie pytanie to wartośc oczekiwana w tym rozkładzie

[Frmen]

dalej podstawić i obliczyć albo wprost z dystrybuanty albo z całkowania gędtości rozkładu, ale skoro Pani ma już ta dystrybuantę....

[Studentka_mat]

Czy tak jest dobrze?
\(\displaystyle{ P[5 \le X \le 8]=P[X=5]+P[X=6]+P[X=7]+P[X=8]=\\ =\frac{5+6+7+8}{10}=\frac{23}{10}}\)
Wartość oczekiwana wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ EX=\frac{a+b}{2}=\frac{10+0}{2}=5}\)

[Frmen]

Nie zdziwiło Pani że prawdopodobieństwo jest większe od 2 ?

[Studentka_mat]

No właśnie coś mi nie pasuje w tym zadaniu bo prawdopodobieństwo nie może być większe niż 1 i nie wiem gdzie popełniam błąd

[Frmen]

ano w tym, że dystrybuanta jest całką z gęstości i jest już prawdopodobieństwem,, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą lub równą.

w przypadku rozkładu ciągłego prawdopodobieństwo że zmienna losowa przyjmie wartość konkretną wynosi 0

[Studentka_mat]

Czyli będzie \(\displaystyle{ P[5 \le X \le 8]=F(8)-F(5)=0,3?}\)
A Czy wartość oczekiwana jest policzona poprawnie?

[lokas]

OK

[Studentka1992]

A jak wyznaczyć modę tego rozkładu?

[lokas]

A jak wyznaczyć modę tego rozkładu?

Skoro każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest jednakowo prawdopodobna, to każda z tych liczb jest modą

[Studentka1992]

A to nie jest tak że skoro każda liczba występuje z takim samym prawdopodobieństwem to że nie ma mody?

[lokas]

A to nie jest tak że skoro każda liczba występuje z takim samym prawdopodobieństwem to że nie ma mody?

Nie, nie jest tak