Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
savitzky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 sty 2013, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: savitzky »

Cześć,
szukając zadań do samodzielnego rozwiązania znalazłem na tym forum trzy, do których nie znalazłem odpowiedzi i nie jestem pewien czy dobrze je liczę. Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi podpowiedział, czy robię dobrze czy nie, a jeżeli nie to byłbym rad gdyby naprowadził mnie na to z czym robię błąd.

Zad. 1. Czterech jednakowo przygotowanych studentów losuje na egzaminie jednakowo trudne pytania. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu wg szcunków giełdy egzaminacyjnej wynosci 0,7. Studenci zdają niezależnie od siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo ze zda większosc z nich?

Interesuje nas jakie jest prawdopodobieństwo zdania trzech studentów. To czy czwarty zda czy nie nas nie interesuje, zatem przyjmuję, że \(\displaystyle{ P(A_4)=1}\). Dla pozostałych studentów prawdopodobieństwo zdania wynosi \(\displaystyle{ P(A_n)=0,7}\).
Zdanie egzaminu przez poszczególnych studentów to zdarzenia niezależne, a więc prawdopodobieństwo, że zda przynajmniej trzech to iloczyn prawdopodobieństw zdarzeń. A więc:
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) = 0,7\times0,7\times0,7\times1 = 0,3430}\)


Zad. 2. W akcji promocyjnej 1% butelek napoju ma pod kapslem kod upowazniajacy do otrzymania wygranej. Jakie jest prawdopodobieństwo ze klient ktory kupił 120 butelek napoju znalazł choc jedna butelke z kodem?

Klient znalazł przynajmniej 1 butelkę z kodem, a więc interesuje nas jakie jest prawdopodobieństwo tego, że nie znalazł żadnej \(\displaystyle{ (P(B))}\), a zatem \(\displaystyle{ P(B)= 1 - P(A) = 1 - 0,01 = 0,99}\). Zdarzenia są niezależne. Prób jest 120 (n), a zatem prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej jednej butelki \(\displaystyle{ (P(A_m_i_n_1))}\) wynosi: \(\displaystyle{ P(A_m_i_n_1)= 1 - P(B)^n = 1 - 0,99^1^2^0 = 0,7006}\).

Zad. 3. Wśród wyrobów fabryki A, braki stanowia 1% a wsród wyrobów fabryki B, braki stanowia 10%. Na 100 potrzebnych na wyrób, 90 udało sie zmówic w fabryce A a pozostałe trzeba było zamówic w fabryce B. Pierwszy użuty wyrób okazał sie brakiem. akie jest prawdopodobieństwo, ze pochodził z fabryki B?

W tym zadaniu skorzystam z Twierdzenie Bayesa. Przyjmując, że X to brak: \(\displaystyle{ P(X/A)=0,01;
P(X/B)=0,1.}\)

Mamy 100 produktów, z czego 90 pochodzi z A, a więc \(\displaystyle{ P(A) = 0,9}\). Pozostałe 10 pochodzi z fabryki B, stąd \(\displaystyle{ P(B) = 0,1}\).
Celem jest obliczenie \(\displaystyle{ P(B/X)}\). Korzystając ze wzoru na twierdzenie Bayesa wychodzi wynik \(\displaystyle{ P(B/X) = 0,5263}\).

Z góry dzięki!
Pozdr
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: piasek101 »

1) Zda czterech lub zda trzech.
savitzky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 sty 2013, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: savitzky »

Ad. Zad. 1:
Dziękuję za uwagę. Przyjmując, że:
\(\displaystyle{ A_4}\) to zdarzenie, w którym zdało 4 studentów,
\(\displaystyle{ A_3}\) to zdarzenie, w którym zdało 3 studentów,
\(\displaystyle{ A_2}\) to zdarzenie, w którym zdało 2 studentów,
\(\displaystyle{ A_1}\) to zdarzenie, w którym zdał 1 student,
\(\displaystyle{ A_0}\) to zdarzenie, w którym nie zdał żaden student to

\(\displaystyle{ P(A_4) = 0,7\times0,7\times0,7\times0,7 = 0,2401}\)
\(\displaystyle{ P(A_3) = 0,7\times0,7\times0,7\times0,3 = 0,1029}\)
\(\displaystyle{ P(A_2) = 0,7\times0,7\times0,3\times0,3 = 0,0441}\)
\(\displaystyle{ P(A_1) = 0,7\times0,3\times0,3\times0,3 = 0,0189}\)
\(\displaystyle{ P(A_0) = 0,3\times0,3\times0,3\times0,3 = 0,0081}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{4} P(A_n) = 0,4141}\)

Przyjmując, że \(\displaystyle{ P(A_m_i_n_3)}\) to prawdopodobieństwo zdania minimum trzech studentów to:

\(\displaystyle{ P(A_m_i_n_3) = \frac{P(A_3) + P(A_4)}{\sum_{n=0}^{4} P(A_n)} = \frac{0,1029 + 0,2401}{0,4141} = 0,8283}\)

Czy teraz liczę poprawnie?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: piasek101 »

Jak dla mnie to 0,4141 już było to co trzeba (rachunków nie sprawdzałem).
Frmen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 445
Rejestracja: 4 sty 2013, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 64 razy

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: Frmen »

przecież pierwsze to klasyczne zadanie na schemat Bernoulliego

mamy 4 próby z prawdopodobieństwem sukcesu 0,7 i interesuje nas prawdopodobieństwo co najmniej trzech sukcesów.

więc

\(\displaystyle{ P = 4 \cdot p^{3}\left( 1-p\right) + p^4}\)

w zadaniu drugim wynik zależy od tego ile butelek jest w promocji, bo jeśli 200 i 2 wygrywają...

przy założeniu że butelek jest bardzo dużo rozwiązania jest poprawnym przybliżeniem.
Ostatnio zmieniony 9 sty 2013, o 22:01 przez Frmen, łącznie zmieniany 1 raz.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Prawdopodobieństwo - trzy przypadki

Post autor: piasek101 »

I tak właśnie obliczył.
ODPOWIEDZ