Prawdopodobieństwo całkowite w pytaniach

[matinf]

Witam,
mam parę wątpliwości apropo tego zagadnienia, a mianowicie:
Weźmy
\(\displaystyle{ P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2)}\)Dlaczego nie uprościmy tego do(tylko zapisujemy zawsze bardziej skomplikowaną postać)
\(\displaystyle{ P(A|B_1) = \frac{P(A \cap B_1)}{P(B_1)}}\) a zatem
\(\displaystyle{ P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2)}\)

2 pytanie) Czy tego wzoru można używać tylko w dwu etapowych doświadczeniach ?
3 pytanie) Kombinatoryka w pierwszym etapie doświadczenia powiedzmy jest w miare zrozumiała(jest normalna). Ale potem trudność może sprawić \(\displaystyle{ P(A|B).}\) Jak sobie z tym radzic,żeby nie popełnić jakiegoś błędu głupiego ?

[mlody3k]

1. W wielu przypadkach znamy tylko wartość \(\displaystyle{ P(A|B_1)}\), \(\displaystyle{ P(A|B_1)}\), \(\displaystyle{ P(B_1)}\) i \(\displaystyle{ P(B_2)}\) a o iloczynie nie mamy zielonego pojęcia. Prawdopodobieństwo całkowite służy właśnie do takich typów zadań. Na przykład: W urnie mamy 20 obiektów. 15 czerwonych i 5 zielonych. 10 czerwonych to kulki, 5 czerwonych to kostki, 3 zielone to kulki, 2 zielone to kostki. Na pytanie "z jakim prawdopodobieństwem wyciągniemy zieloną kostkę?" odpowiedzieć łatwo. Zielonych kostek są 2, obiektów 20. Zatem jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\).

A co z pytaniem: Z jakim prawdopodobieństwem wyciągniemy kostkę? Do tego już jest potrzebne prawdopodobieństwo całkowite. Weźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na wyciągnięciu kostki
\(\displaystyle{ K_1}\) - zdarzenie polegające na wyciągnięciu czerwonego obiektu
\(\displaystyle{ K_2}\) - prawdopodobieństwo polegające na wyciągnięciu zielonego obiektu.

W tym momencie znamy tylko i wyłącznie następujące prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(K_1)=\frac{15}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(K_2)=\frac{5}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(A|K_1)=\frac{5}{15}}\) - to jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kostkę pod warunkiem że wylosowaliśmy obiekt czerwony
\(\displaystyle{ P(A|K_2)=\frac{2}{5}}\) - prawd., że wyciągneliśmy kostkę, pod warunkiem, że wiemy, że wylosowaliśmy obiekt zielony.

Zatem \(\displaystyle{ P(A)=P(A|K_1)\cdot P(K_1) + P(A|K_2)\cdot P(K_2)=\frac{5}{15}\cdot\frac{15}{20}+\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{10}=\frac{7}{20}}\)


2. Wzór działa dla nieskończenie wielu (przeliczalnej ilości) takich "etapów"

3. Trzeba robić mnóstwo zadań. Tylko dzięki temu zdobędziesz wprawę. To samo jest z całkami, geometrią analityczną, właściwie ze wszystkim.

Pozdrawiam.

[matinf]

OK. A tak w ogóle jak należy interpretować takie p-stwo:
P(A n B)
Ten iloczyn.
Czy to jest jakieś że zachodzi to i to ?
Czy jak ?

[kropka+]

P(A n B)
Ten iloczyn.
Czy to jest jakieś że zachodzi to i to ?

Tak.