Dwuwymiarowa zmienna losowa

[Paylinka07]

Strzelanie odbywa się do celu, którym jest położony na płaszczyźnie \(\displaystyle{ 0xy}\) punkt \(\displaystyle{ P(0,0)}\). Współrzędne \(\displaystyle{ (X,Y)}\) punktu, w który pada strzał, są dwuwymiarową zmienną losową o gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{2 \pi } \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot ( x^{2} + y ^{2}) }}\)

\(\displaystyle{ a)}\) Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w obszar \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} < R^{2}}\)
\(\displaystyle{ b)}\) Znaleźć gęstości rozkładów brzegowych.
\(\displaystyle{ c)}\) Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne?

[miodzio1988]

CO matematycznie w a musimy policzyc?

[Paylinka07]

W \(\displaystyle{ a}\) musimy policzyć prawdopodobieństwo trafienia w dany obszar. I nie wiem jak mam to policzyć, bo jak bym wiedziała to bym tu tego zadania nie zamieszczała

[bartek118]

Jedziemy z definicji. Masz policzyć \(\displaystyle{ P(X^2 + Y^2 < R^2)}\) - co to jest z definicji?

[lokas]

No to policz całkę podwójną po wskazanym obszarze z f. gęstości

[Paylinka07]

Czyli mam policzyć:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi } \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot ( x^{2} + y ^{2}) } \ dx \ dy}\)

[lokas]

Nie, jaki masz obszar w a? Wstaw go w całkę

[Paylinka07]

Czy tak?
\(\displaystyle{ \int_{ x^{2}+ y^{2} }^{ R^{2} } \int_{ x^{2}+ y^{2} }^{ R^{2} } \frac{1}{2 \pi } \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot ( x^{2} + y ^{2}) } \ dx \ dy}\)

[miodzio1988]

Nie. Zapis zupełnie do bani. Powtórka z analizy musi być

[Paylinka07]

Całkę podwójną liczyliśmy tylko raz i to na podanym już przedziale. Skąd mam wiedzieć jak to zapisać skoro NIKT nam tego nie pokazał ani na wykładzie ani na ćwiczeniach? Taka zdolna nie jestem żeby spojrzeć i od razu wiedzieć

[bartek118]

To będzie \(\displaystyle{ \int \int _{\left\{ X^2 + Y^2 < R^2\right\} } f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

[matpol]

A co z podpunktem b i c? Co będzie obszarem w którym trzeba całkować?