Dwuwymiarowe zmienne losowe

[matpol]

Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ \left(X,Y\right)}\) ma rozkład prawdopodobieństwa określony następująco
\(\displaystyle{ P[X=1, Y=1]=P[X=2, Y=1]=P[X=2,Y=2]=0,1 , P[X=1,Y=2]=0,3, P[X=3,Y=1]=0,3,P[X=3,Y=2]=0,1}\)
a) czy zmienne losowe X i Y są niezależne?
b) znaleźć wsp korelacji

co do podpunktu (a) to znam warunek,że zmienne losowe o rozkładach dyskretnych są niezależne wtt, gdy \(\displaystyle{ P[X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, ... , X_{n}=x_{n}] = P[X_{1}=x_{1}] \cdot ... \cdot P[X_{n}=x_{n}]}\) ale nie bardzo umiem go zastosować do treści zadania, a na wykładzie ani ćw. nie robiliśmy ani jednego zadania do niezależnych zm. losowych.
w podpunkcie b) też znam wzór na wsp korelacji, ale podobnie jak w a) nie umiem tego przenieść na treść zadania.

Mógłby ktoś wytłumaczyć to krok po kroku? Bardzo proszę

[tometomek91]

a)
\(\displaystyle{ P(X=1)=0,4\\
P(Y=1)=0,5}\)
ale
\(\displaystyle{ 0,2=P(X=1)P(Y=1) \neq P(X=1,Y=1)=0,1}\).

[matpol]

Dlaczego \(\displaystyle{ P[X=1]=0,4 i P[Y=1]=0,5}\) ?

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)+P(X=1,Y=3)}\)

[Paylinka07]

Też chciałabym poprosić o wytłumaczenie krok po kroku. Co do podpunktu \(\displaystyle{ a}\) nie mam pojęcia skąd korzystamy i skąd się to bierze i jak zastosować to do innych zadań.
A do podpunktu \(\displaystyle{ b}\) wzór mam taki (zastosować nie potrafię) i proszę o wytłumaczenie jak małemu dziecku

\(\displaystyle{ \varphi = \frac{cor(X,Y)} {\sqrt{ D^{2}(X) \cdot D^{2}(Y) }} = \frac{EXY - EX \cdot EY}{ \sqrt{D^{2}(X) \cdot D^{2}(Y)} }}\)

\(\displaystyle{ EXY = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f(X,Y) \ dx \ dy}\)
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x \ f(x) \ dx}\)
\(\displaystyle{ D^{2} (X) = E (X^{2} ) - (EX)^{2}}\)
\(\displaystyle{ E (X^{2} ) = \int_{-\infty}^{+ \infty} x^{2} f_{x} (x) \ dx}\)

Analogicznie do \(\displaystyle{ Y}\). Proszę o pomoc

[pyzol]

Tu masz skończone miary, więc liczymy szeregami:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}XY=1\cdot 1 \cdot P(X=1,Y=1)+2\cdot 1\cdot P(X=2,Y=1)+\\
+3\cdot 1 \cdot P(X=3,Y=1)+1\cdot 2 \cdot P(X=1,Y=2)+...=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 ij P(X=i,Y=j)}\)

[matpol]

Jeśli zrobię tabelkę to brakuje mi wartości dla \(\displaystyle{ P[X=1,Y=3], P[X=2,Y=3], P[X=3,Y=3]}\). A pozostałe prawdopodobieństwa dają już 1. Więc to co podał pyzol, nie powinno być że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{2}}\)?

[pyzol]

Te wartości wynoszą \(\displaystyle{ 0}\) (wszystkie w sumie mają dać 1).
A znaków zapytania, to raczej sumować nie będziemy .