Rozkład łączny wyznaczenie prawdopodbieństwa

[michau6211]

Mam problem z pewnym zadaniem:

Rozkład łączny wektora losowego ma postać: \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)

gdzie \(\displaystyle{ 0 \le y \le x \le 1}\)

Wyznaczyć :

\(\displaystyle{ P(X ^{2} + Y^{2} \le 1 \left| \right| X = x )}\).

Jakiś pomysł ?

[lokas]

Dystrybuante wyznacz na początek

[lisbeth]

Możesz spróbować znaleźć rozkład łączny wektora \(\displaystyle{ (X^{2}+Y^{2}, X}\)), następnie rozkład brzegowy dla \(\displaystyle{ X}\) no i wszystko podstawić do wzoru na gęstość warunkową. Do obliczenia danego prawdopodobieństwa wystarczy już policzyć całkę z gęstości po danym obszarze

[michau6211]

Ok. Najpierw liczę rozkład warunkowy :


\(\displaystyle{ f(x,y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)} = \frac{ \frac{1}{x} }{1} = \frac{1}{x}}\)

Obliczam dystrybuantę : \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{x} dy =1}\)

Co dalej ?

[lokas]

Ok. Najpierw liczę rozkład warunkowy :


\(\displaystyle{ f(x,y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)} = \frac{ \frac{1}{x} }{1} = \frac{1}{x}}\)

Obliczam dystrybuantę : \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{1}{x} dy =1}\)

Co dalej ?

Co to jest? Tragedia.

[michau6211]

Ok sorry powinno być :

\(\displaystyle{ f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)} = \frac{1}{x}}\)

A potem liczę dystrybuantę rozkładu warunkowego, nie wiem dlaczego się tak załamałeś.

[lokas]

Ok sorry powinno być :

\(\displaystyle{ f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)} = \frac{1}{x}}\)

A potem liczę dystrybuantę rozkładu warunkowego, nie wiem dlaczego się tak załamałeś.

Nie, to teź nie jest dobrze.

[michau6211]

Skoro tak to jak powinno być ?

[tometomek91]

Wg mnie to będzie tak
\(\displaystyle{ P(X ^{2} + Y^{2} \le 1 | X = x )= \begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \ \ \dla\ \ x \in \left[ 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \ \ \dla\ \ x \in \left( \frac{1}{\sqrt{2}},1 \right] \end{cases}}\)

nie jestem pewien, bo brałem to na logikę, niech mnie ktoś poprawi.