Prawdopodobieństwo sumy ZL

[Tomaszko]

Witam.

Mam takie zadanie:
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}}\) przyjmują wartości z prawdopodobieństwami podanymi w tabeli:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
x_{k} & p^{1}_{k} & p^{2}_{k} & p^{3}_{k} & p^{4}_{k} \\ \hline
0&0.3&0.4&0.5&0.3\\ \hline
1&0.5&0.6&0.1&0.3\\ \hline
2&0&0&0.2&0.2\\ \hline
3&0.2&0&0.2&0.2\\ \hline
&X_{1}&X_{2}&X_{3}&X_{4}\\ \hline
\end{tabular}}\)

Obliczyć \(\displaystyle{ P(s=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}=3)}\)

Mam podany wzór dla przypadku, gdy chodzi o sumę dwóch zmiennych losowych skokowych \(\displaystyle{ X, Y}\):
\(\displaystyle{ P(X+Y=s)=\sum_{\substack{y \le s}}P(X=s-y)P(Y=y)=\\ \sum_{\substack{y_{k} \le s}} \sum_{\substack{x_{k}=s-y_{k}}}P(X=s-y_{k})P(Y=y_{k})}\)

Czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak zastosować ten wzór, gdy chodzi o sumę 4 ZL?
Albo pomóc rozwiązać to zadanie (zapewne jest proste )?

Z góry dziękuję, pozdrawiam.

[lokas]

Mam podany wzór dla przypadku, gdy chodzi o sumę dwóch zmiennych losowych skokowych \(\displaystyle{ X, Y}\):
\(\displaystyle{ P(X+Y=s)=\sum_{\substack{y \le s}}P(X=s-y)P(Y=y)=\\ \sum_{\substack{y_{k} \le s}} \sum_{\substack{x_{k}=s-y_{k}}}P(X=s-y_{k})P(Y=y_{k})}\)

Radził bym zastosować wzór na splot dusyrybuant
\(\displaystyle{ F ^{\left( m\right) }=F ^{\left( m-1\right) }\star F _{m}}\)
przy czym
\(\displaystyle{ F ^{\left( m\right) }}\)- dystrybuanta \(\displaystyle{ m}\) pierwszych składników
\(\displaystyle{ F _{m}}\)- dystybuanta \(\displaystyle{ m-tego}\) składnika
\(\displaystyle{ f _{k}(s)=P(X _{k} =s)}\)

Mamy, że dla zmiennej o rozkładzie dyskretnym
\(\displaystyle{ F ^{\left( m\right) }(s)= \sum_{i=0}^{ \infty }F ^{\left( m-1\right) }(s-i)f _{k}(i)}\)

[Tomaszko]

Radził bym zastosować wzór na splot dusyrybuant
\(\displaystyle{ F ^{\left( m\right) }=F ^{\left( m-1\right) }\star F _{m}}\)

Mógłbyś mi pokazać jak będzie wyglądał np. splot \(\displaystyle{ F_{X_{1}} \star F_{X_{2}}}\) ?

[lokas]

Napisz dystrybuante pierwszej zmiennej i wstaw do wzoru

\(\displaystyle{ F ^{\left( m\right) }(s)= \sum_{i=0}^{ \infty }F ^{\left( m-1\right) }(s-i)f _{k}(i)}\)

Zobaczymy czy dobrze będzie

[Tomaszko]

Ok, temat już do zamknięcia.
Dziękuję lokas za czas mi poświęcony