Prawdopodobieństwo wylosowania jabłka

[Maciej94]

Do koszyka włożono 12 jabłek, w tym dwa jabłka lobo. Po kilku dniach przechowywania
z koszyka usunięto dwa popsute jabłka. Następnie losowo wybrano jedno jabłko. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wybrano jabłko lobo. Wynik podaj w postaci ułamka
nieskracalnego.

Czy moje rozwiązanie jest poprawne?

Załóżmy, że jabłka lobo to p, a jabłka nie lobo to q.
\(\displaystyle{ P(x)=P(a)+P(b)}\), gdzie:
P(A) - wyrzucono jedno p i jedno q - wylosowano p.
P(B) - wyrzucono dwa q - wylosowano p.
\(\displaystyle{ \Omega = 12 \cdot 11}\)

\(\displaystyle{ P(a)= \frac{10 \cdot 2}{12 \cdot 11} \cdot \frac{1}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(b)= \frac{10 \cdot 9}{12 \cdot 11} \cdot \frac{2}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(x)= \frac{5}{33}}\)

[tometomek91]

Nie jest poprawnie.

Skorzystaj z tego wzoru:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \{ H_1,H_2,H_3 \}}\) to rozbicie \(\displaystyle{ \Omega}\).
U nas:
\(\displaystyle{ H_1}\) - usunięto dwa lobo,
\(\displaystyle{ H_2}\) - usunięto jedno lobo i jedno nie lobo,
\(\displaystyle{ H_3}\) - usunięto dwa nie lobo.

[loitzl9006]

Można też zrobić to "drzewkiem"

Rozważasz trzy przypadki (trzy rozgałęzienia na początek): zgniłe będą:

\(\displaystyle{ A}\) dwa nie lobo,
\(\displaystyle{ B}\) jedno lobo, jedno nie lobo,
\(\displaystyle{ C}\) dwa lobo.

Liczysz prawdopodobieństwa dla każdego z przypadków:

Omega to \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\) - losujesz \(\displaystyle{ 2}\) zgniłe jabłka z \(\displaystyle{ 12}\).

\(\displaystyle{ A= {10 \choose 2} \\ B={10 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} \\ C={2 \choose 2} \\ \\ P(A)= \frac{45}{66} \\ P(B)= \frac{20}{66} \\ P(C)= \frac{1}{66}}\)

jeżeli wystąpi zdarzenie \(\displaystyle{ A}\), to wtedy szansa na wylosowanie lobo wśród zdrowych wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{10}}\), jeżeli \(\displaystyle{ B}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\), jeżeli \(\displaystyle{ C}\) to \(\displaystyle{ 0}\).

Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem \(\displaystyle{ \frac{45}{66} \cdot \frac{2}{10}+ \frac{20}{66} \cdot \frac{1}{10} =\frac16}\)

[Maciej94]

Nie jest poprawnie.

Skorzystaj z tego wzoru:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \{ H_1,H_2,H_3 \}}\) to rozbicie \(\displaystyle{ \Omega}\).
U nas:
\(\displaystyle{ H_1}\) - usunięto dwa lobo,
\(\displaystyle{ H_2}\) - usunięto jedno lobo i jedno nie lobo,
\(\displaystyle{ H_3}\) - usunięto dwa nie lobo.

Hmmm, a czy przypadkiem \(\displaystyle{ P(A|H_1)P(H_1)= \frac{P(A \cap H_1)}{P(H_1}P(H_1)=P(A \cap H_1)}\)? Jak z sumy tego co napisałeś można wyliczyć P(A)?

loitzl9006, dziękuję bardzo za wyjaśnienie. Widzę, że moje rozumowanie jest błędne, bo prawdopodobieństwo jest różne o dokładnie \(\displaystyle{ \frac{1}{66}}\). Nie rozumiem tylko dlaczego tak jest. Uwzględniłem w końcu dwa przypadki (bo trzeci się zeruje). Czy jakby to było zadanie maturalne zaliczone na pięć punktów, to mógłbym na coś liczyć za moje rozwiązanie?

-- 4 sty 2013, o 23:45 --

Hmm, po chwilowej analizie widzę swój błąd, z tym że wiem, że to są bardzo elementarne podstawy, ale... Dlaczego nie mogę \(\displaystyle{ \Omega}\) liczyć wariacjami bez powtórzeń tylko kombinacjami? Nie potrafię sobie tego wyobrazić.

[loitzl9006]

Dlaczego nie mogę \(\displaystyle{ \Omega}\) liczyć wariacjami bez powtórzeń tylko kombinacjami?

Cóż, wygląda na to że Ty przyjąłeś że kolejność losowania jabłek ma znaczenie. Wtedy używamy wariacji z powtórzeniami. Gdy kolejność nie ma znaczenia, tak jak w naszym zadaniu, to zostaje użycie kombinacji.
Ja przyjąłem, że jabłka są nierozróżnialne czyli jest \(\displaystyle{ 10}\) dokładnie jednakowych, i \(\displaystyle{ 2}\) lobo też niczym się między sobą nie różnią.

[Maciej94]

Już widzę, masz rację - dziękuje bardzo za pomoc.

[loitzl9006]

Pisałem że użyłeś wariacji z powtórzeniami - to źle napisałem.
Masz \(\displaystyle{ 12\cdot 11}\) więc użyłeś wariacji bez powtórzeń, z powtórzeniami to by było \(\displaystyle{ 12^2}\).

[tometomek91]

Hmmm, a czy przypadkiem \(\displaystyle{ P(A|H_1)P(H_1)= \frac{P(A \cap H_1)}{P(H_1}P(H_1)=P(A \cap H_1)}\)? Jak z sumy tego co napisałeś można wyliczyć P(A)?

Jest tak jak najbardziej, ale zauważ, że wiemy ile to jest \(\displaystyle{ P(A|H_1)}\) - oznacza to prawdopodobieństwo wylosowania lobo, jeśli wiemy, że usunięto dwa lobo, czyli \(\displaystyle{ P(A|H_1)=0}\), dalej \(\displaystyle{ P(A|H_2)}\) - wylosowano lobo, jeśli zgniło lobo i nie lobo, czyli \(\displaystyle{ P(A|H_2)=\frac{1}{11}}\), podobnie znamy \(\displaystyle{ P(A|H_3)}\).

[matinf]

Czyżby to było prawdopodobieństwo warunkowe?