Witam , mam do zrobienia mnóstwo zadań z tego upiornego prawdopodobieństwa . Czy mógłby ktoś wytłumaczyć ' po ludzku ' ?
W urnie jest 6 kul białych i 5 zielonych. Losujemy bez zwracania 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
a)wylosujemy 2 kule zielone
b)wylosujemy kule różnych kolorów
c)wylosujemy co najmniej jedną kulę zieloną .
Urny i kule
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
-
sidorio
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 27 paź 2009, o 16:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ...
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 12 razy
Urny i kule
Najprościej takie zadania rozwiązywać za pomocą drzewa probablistycznego. W sumie masz 11 kul, 6 białych i 5 zielonych. Losujesz dwukrotnie.
1. Pierwsze losowanie.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{11}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{11}}\)
2. Drugie Losowanie. W urnie mamy już tylko 10 kul. Ubyła jedna biała lub jedna zielona. Rozważmy więc 2 przypadki:
a) za pierwszym razem wylosowaliśmy białą.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\)
a) za pierwszym razem wylosowaliśmy zieloną.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{10}}\)
Teraz powróćmy do tego o co nas proszą w zadaniu:
a) wylosujemy 2 kule zielone
wystarczy pomnożyć przez siebie prawdopodobieństwa z 1 i 2 losowania dla przypadków wylosowania w kazdym z nich kuli zielonej, czyli
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10}}\)
b)wylosujemy kule różnych kolorów
Mozna to zrobić na 2 przypadki (za pierwszym razem zielona, za drugim biała i za pierwszym razem biała, za drugim zielona) Żeby otrzymać wynik, wystarczy zsumować prawdopodobienstwa:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10}+ \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10}}\)
c)wylosujemy co najmniej jedną kulę zieloną .
Tutaj również mamy kilka przypadków. Najprościej zrobić to poprzez zdarzenie odwrotne, czyli policzymy prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy zielonej kuli ani razu, czyli
\(\displaystyle{ P(C')= \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10}}\)
Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ P(C)=1-P(C')}\) liczymy prawdopodobieństwo.
1. Pierwsze losowanie.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{11}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{11}}\)
2. Drugie Losowanie. W urnie mamy już tylko 10 kul. Ubyła jedna biała lub jedna zielona. Rozważmy więc 2 przypadki:
a) za pierwszym razem wylosowaliśmy białą.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\)
a) za pierwszym razem wylosowaliśmy zieloną.
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz białą wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\)
Prawdopodobieństwo, że wylosujesz zieloną wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{10}}\)
Teraz powróćmy do tego o co nas proszą w zadaniu:
a) wylosujemy 2 kule zielone
wystarczy pomnożyć przez siebie prawdopodobieństwa z 1 i 2 losowania dla przypadków wylosowania w kazdym z nich kuli zielonej, czyli
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10}}\)
b)wylosujemy kule różnych kolorów
Mozna to zrobić na 2 przypadki (za pierwszym razem zielona, za drugim biała i za pierwszym razem biała, za drugim zielona) Żeby otrzymać wynik, wystarczy zsumować prawdopodobienstwa:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10}+ \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{10}}\)
c)wylosujemy co najmniej jedną kulę zieloną .
Tutaj również mamy kilka przypadków. Najprościej zrobić to poprzez zdarzenie odwrotne, czyli policzymy prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy zielonej kuli ani razu, czyli
\(\displaystyle{ P(C')= \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10}}\)
Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ P(C)=1-P(C')}\) liczymy prawdopodobieństwo.
-
sidorio
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 27 paź 2009, o 16:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ...
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 12 razy
Urny i kule
Jest sporo metod do rozwiązywania zadań z prawdopodobieństwa: poprzez stosowanie kombinacji, wariancji z powtórzeniami i bez powtórzeń oraz popularne "drzewko". Wszystko zależy od treści zadania Wybierasz najprostszą i najwygodniejszą dla siebie metodę. Czasem takie zadania można zrobić na "chłopski rozum" i bez użycia żadnych kombinacji zrobić, np. zwykłą regułą mnożenia.