Wartość oczekiwana, korelacja

[behemoth]

Niech \(\displaystyle{ F \sim Exp(\lambda)}\) i \(\displaystyle{ Z_1=F^{-1}(U)}\), \(\displaystyle{ Z_2=F^{-1}(1-U)}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ EZ_i = \frac{1}{\lambda}}\), \(\displaystyle{ EZ^2_i = \frac{2}{\lambda^2}}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2}\) oraz \(\displaystyle{ corr(Z_1, Z_2) = -0,6449}\)
Jako wskazówkę do tego zadania została podana taka o to całka:
\(\displaystyle{ \int_0^1\log(x)\log(1-x)dx = 0,3551}\)

[tometomek91]

A co to jest \(\displaystyle{ U}\)?

[behemoth]

U to skończona przestrzeń wartości, tak by najmniej zostało podane na wykładzie...

[pyzol]

Ja bym raczej obstawiał zmienną losową z rozkładu jednostajnego \(\displaystyle{ \mathcal{U}(0;1)}\).

[behemoth]

Możliwe... Wykładowca bardzo mieszał oznaczenia... Raz było, że U - zmienna losowa rozkładu jednostajnego na [0, 1], raz że po prostu jakaś zmienna losowa, a inny razem, że jakaś przestrzeń wartości....

Tak mniej więcej, to wiem jak rozwiązać to zadanie, ale zawsze mam problem z zapisem...
Czy wystarczy wziąć funkcję odwrotna do funkcji gęstość rozkładu \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\) i podstwaić do odpowiednich wzorów na wartość oczekiwaną i drugi moment zwykły...
A korelacje można policzyć ze wzoru: \(\displaystyle{ r_{XY} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}}\)