Obsługa centrali telefonicznej

[deomaniak]

Witam
mam problem z następującym zadaniem:

Centrala telefoniczna obsługuje 100 abonentów. Każdy z abonentów może z prawdopodobieństwem 0.1 niezaleznie od pozostałych zamówić połączenie zewnętrzne. Jaka powinna być minimalna ilość połączeń zewnętrznych w tej centrali, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zostały zrealizowane wszystkie zamówienia abonentów? Podać rozwiązanie dokładne i przybliżone.

Problem polega na tym, że nie wiem jaką zmienną losową skonstruować (czy to jest dobre podejście?) Domyślam się że rozwiązanie przybliżone da się wyliczyć z CTG. Tylko jak? Z góry dziękuję za pomoc.

[miodzio1988]

Do 19 musisz się tego nauczyć, co? ;]

Problem polega na tym, że nie wiem jaką zmienną losową skonstruować (czy to jest dobre podejście?)

Tak

Co nam mówi CTG?

[deomaniak]

CTG mówi że jeśli mam ciąg niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_{1} , ... , X_{n})}\) pochodzących z tego samego rozkładu ze skończoną wartością oczekiwana i wariancją, to zmienna losowa
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}}\) ma w przybliżeniu rozkład \(\displaystyle{ N(0 , 1)}\)

Zakładamy, że minimalna ilość połączeń zewnętrznych to \(\displaystyle{ a}\)
Chcemy więc policzyć \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ P(0,9 \le \frac{a}{\sum_{i = 1}^{100} X_{i}} \le 1)}\)

Tylko jak? (i czy wogóle dobrze to rozkminiam?)-- 3 sty 2013, o 14:44 --Porzuciłem poprzedni tok myślenia na rzecz czegoś takiego:

Najpierw policzyłem \(\displaystyle{ \mu = 0,1}\) i \(\displaystyle{ \sigma = 0,3}\)

\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{100} X_{i} \le a) \ge 0,9}\)

\(\displaystyle{ P( \frac{\sum_{i=1}^{100} X_{i} - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \le \frac{a-10}{3} ) \ge 0,9}\)

Teraz korzystam z CTG:
\(\displaystyle{ P( Z \le \frac{a-10}{3} ) \ge 0,9}\)

Czyli korzystając z tablic i zaokrąglając \(\displaystyle{ a}\) w górę do najbliższej liczby całkowitej, otrzymałem
\(\displaystyle{ a = 14}\)

Czy taki tok myślenia jest poprawny?

[lokas]

Najpierw dokładne rozwiązanie

\(\displaystyle{ X _{i}}\) - zm. losowa. przyjmująca wartość 1 gdy \(\displaystyle{ i-ty}\) klient zamówi połączenie, a 0 gdy nie.
\(\displaystyle{ X\sim dwum.\ (1, \frac{1}{10} )}\)
\(\displaystyle{ Y=X _{1} +X _{2} +..+X _{100}}\)
\(\displaystyle{ Y\sim dwum.\ (100, \frac{1}{10} )}\)
Liczymy \(\displaystyle{ P(Y \le a) \ge 0,9 \Leftrightarrow F _{Y} (a) \ge 0,9}\)
I tutaj wyznaczamy a, co może troche zająć


Rozwiązanie przybliżone:
Z rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) łatwo wyliczamy
\(\displaystyle{ EY=10

\sigma Y=3}\)
Jedziemy z CTG:

\(\displaystyle{ P \left(Y \le a\right) \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ P\left( \frac{Y-EY}{\sigma Y} \le \frac{a-EY}{\sigma Y}\right) \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ P \left( Z \le \frac{a-10}{3}\right) \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{a-10}{3}\right) \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ \frac{a-10}{3} \ge 1,29}\)
\(\displaystyle{ a \ge 13,87}\)
Czyli pierwsze a całkowite spełniające warunek to \(\displaystyle{ 14}\)