Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f _{Y}(y)}\) zmiennej \(\displaystyle{ Y=2X}\) jeśli gęstość
\(\displaystyle{ f _{X}(x) = \begin{cases}0 &\text{dla } x<0 \\2e^{-2x} &\text{dla } x \ge 0 \end{cases}}\)
Błagam o pomoc męczę się z tym już dłuższy czas i nie kapuje. Na moje to gęstość można by było po prostu obliczyć z informacji ze \(\displaystyle{ Y=2X}\). No i wtedy wychodzi :
\(\displaystyle{ f _{Y}(y)=f _{X}\left[ \frac{y}{2} * \left| \frac{1}{2} \right|\right]}\)
No i nie rozumiem po co ta gęstość \(\displaystyle{ f _{X}(x)}\).
Wytłumaczy mi to ktoś, proszę.
Gęstość prawdopodobieństwa zm. Y mając gestość zm. X
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 2 sty 2013, o 02:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bdg
- Podziękował: 2 razy
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Gęstość prawdopodobieństwa zm. Y mając gestość zm. X
Więc
\(\displaystyle{ f _{Y}(t) = \begin{cases}0 &\text{dla } t<0 \\e^{-t} &\text{dla } t \ge 0 \end{cases}}\).
\(\displaystyle{ f _{Y}(t) = \begin{cases}0 &\text{dla } t<0 \\e^{-t} &\text{dla } t \ge 0 \end{cases}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 2 sty 2013, o 02:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bdg
- Podziękował: 2 razy
Gęstość prawdopodobieństwa zm. Y mając gestość zm. X
No dobrze. Ale teraz kombinuje jak do tego doszedłeś. Bo próbuje jakoś podstawić i mi nie wychodzi. Przy całkowaniu wychodzi mi inaczej... nie mam innych pomysłów. Podpowiesz?
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Gęstość prawdopodobieństwa zm. Y mając gestość zm. X
Wyprowadza się to zaczynając od dystrybuanty.
\(\displaystyle{ F_Y(t)=P\left(Y \le t \right)=P\left(2X \le t \right)=P\left(X \le \frac{t}{2} \right)=F_{X}\left( \frac{t}{2}\right)}\)
Teraz gęstość, czyli różniczkujemy dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F_X \left(\frac{t}{2} \right)=\frac{1}{2}f_X \left(\frac{t}{2} \right)}\)
Podstawiając do podanego wzoru otrzymamy to co napisałem.
\(\displaystyle{ F_Y(t)=P\left(Y \le t \right)=P\left(2X \le t \right)=P\left(X \le \frac{t}{2} \right)=F_{X}\left( \frac{t}{2}\right)}\)
Teraz gęstość, czyli różniczkujemy dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F_X \left(\frac{t}{2} \right)=\frac{1}{2}f_X \left(\frac{t}{2} \right)}\)
Podstawiając do podanego wzoru otrzymamy to co napisałem.