Prawdopodobieństwo - studenci nieprzygotowani i przygotowani

[Cari]

Zaczynam je robić od początku i w pewnym momencie nie wiem co dalej.

Zad. Spośród 20 studentów do sprawdzianu przygotowało się 5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy losowym podziale na dwie równe grupy w każdej znajdzie się co najmniej jeden z ich.

Czyli naszą pierwszą informacją w tym zadaniu jest to, że piątka studentów spośród 20 jest przygotowana do sprawdzianu, czyli możliwości ustalenia tej piątki osób jest \(\displaystyle{ {20\choose 5}}\).

Studenci zostali podzieleni na dwie równe grupy, oznaczyłam je jako grupą A i grupę B. Jeśli grupę A wybierzemy jako pierwszą to możliwości wybrania 10 osób spośród 20 jest \(\displaystyle{ {20\choose 10}}\), a w grupie B pozostaje już pozostała 10 czyli \(\displaystyle{ {10\choose 10}}\) - n arazie nie patrząc na tą piątkę przygotowanych.

....

Jeżeli w każdej grupie ma znaleźć się co najmniej jedna osoba z piątki (czyli jedna lub więcej), to w grupie A, (B) możemy rozpatrzyć następujące przypadki:

a) Mamy \(\displaystyle{ {10\choose 9}}\) osób nieprzygotowanych i 1 przygotowaną (w tym momencie równoważnie w grupie B mamy 4 osoby przygotowane \(\displaystyle{ {10\choose 6}}\) nieprzygotowanych)

b) 2 przygotowane i \(\displaystyle{ {10\choose 8}}\) nieprzyg. (3 przygotowane i \(\displaystyle{ {10\choose 7}}\) nieprzygotowanych )

c) 3 przygotowane i \(\displaystyle{ {10\choose 7}}\) nieprzyg. (2 przyg. i \(\displaystyle{ {10\choose 8}}\) nieprzyg.)

d) 4 przyg. i \(\displaystyle{ {10\choose 6}}\) nieprzyg. (1 przyg. i \(\displaystyle{ {10\choose 9}}\) nieprzyg.)

...........
i nie wiem co z tym dalej zrobić.

[pyzol]

W takich przypadkach lepiej liczyć prawdopodobieństwo przeciwne. Czyli wylosowanie w pierwszej grupie wszystkich studentów. Takich możliwości jest \(\displaystyle{ \binom{15}{5}}\) tyleż samo jeśli chodzi o drugą.

[lokas]

Jeśli utworzymy jedną grupę to druga utworzy się automatycznie czyli będzie tak, że pierwszą grupę możemy utworzyć na
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{4} {5 \choose k} {15 \choose 10-k}}\)
sposobów. Konkretni studenci są przygotowani więc nie trzeba ich wybierać.

[Cari]

jeżeli będę chciała obliczyć prawdopodobieństwo z grupy A to biorę wynik z tej sumy i dzielę ją przez 20, ponieważ moc omegi wynosi 20, ale wtedy P(A) jest większe od 1

[pyzol]

\(\displaystyle{ |\Omega|=\binom{20}{10}}\).

[Cari]

dzięki wielkie za pomoc