zmienna losowa X

[majooo999]

Witam, mogłbym prosić o wytłumaczenie rozwiązania tego zadania? a dokładnie o pkt. b)?

Zmienna losowa X podlega rozkładowi gęstości danej wzorem:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \begin{cases} 0 \text{ dla } x< 0\\ c \sin x \text{ dla } 0 \le x \le \frac{ \pi }{3} \\ 0 \text{ dla } x > \frac{ \pi }{3}\end{cases}}\)
a) oblicz stałą c
b) podaj dystrybuantę tej zmiennej
c) oblicz\(\displaystyle{ P \left( \frac{ \pi }{6} \le x \le \frac{ \pi }{4} \right)}\)

a) \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } f \left( x \right) dx = c \int_{0}^{\frac{ \pi }{3}} \sin x dx = \left|c \left( -\cos x \right) \right| {\frac{ \pi }{3} \choose 0}=c \left( -\cos \frac{ \pi }{3} \right) +\cos 0 \right) =c \left( -0,5+1 \right) = \frac{c}{2} \Rightarrow \frac{c}{2} =1\\
c=2}\)


b) dla \(\displaystyle{ x<0}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} 2\sin xdx = 0\\
\text{ dla } 0\le x \le \frac{ \pi }{3}\\
\int_{0}^{ x }2\sin xdx=2 \left( -\cos x+\cos 0 \right) =2 \left( -\cos x +1 \right) \\
\text{ dla } x> \frac{ \pi }{3}
\int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} }2\sin xdx=2 \left( -\cos x \frac{ \pi }{3} +\cos 0 \right) =2 \left( - \frac{1}{2} +1 \right) =1}\)

c)
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{ \pi }{6} }^{ \frac{ \pi }{4} } 2\sin xdx = 2 \left( -\cos \frac{ \pi }{4}+\cos \frac{ \pi }{6} \right) =2 \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} \right) =\sqrt{3} -\sqrt{2}}\)

[lukasz1804]

Warto zmienić zmienną dystrybuanty na \(\displaystyle{ t}\), by nie powstawała kolizja oznaczeń. Później tylko korzystamy z określenia funkcji gęstości oraz z addytywności całki względem tej gęstości.

Mamy \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^tf(x)\mbox{d}x}\).

Łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ t\le 0}\) mamy \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^t0\mbox{d}x=0}\).

Dla \(\displaystyle{ 0<t\le\frac{\pi}{3}}\) mamy \(\displaystyle{ F(t)=F(0)+\int_0^t2\sin x\mbox{d}x=2(1-\cos t)}\),

dla \(\displaystyle{ t>\frac{\pi}{3}}\) mamy \(\displaystyle{ F(t)=F\left(\frac{\pi}{3}\right)+\int_{\frac{\pi}{3}}^t0\mbox{d}x=1}\).

[majooo999]

Dla \(\displaystyle{ 0<t\le\frac{\pi}{3}}\)
mamy \(\displaystyle{ F(t)=F(0)+\int_0^t2\sin x\mbox{d}x=2(1-\cos t)}\),

dla \(\displaystyle{ t>\frac{\pi}{3}}\)
mamy \(\displaystyle{ F(t)=F\left(\frac{\pi}{3}\right)+\int_{\frac{\pi}{3}}^t0\mbox{d}x=1.}\)

Nie rozumiem za bardzo czemu takie przedziały bierzemy w tych całkach, mogłbys to mi wytłumaczyc? Bo siedze juz godz i wiecej i dalej nie wiem skad to się wzięło.

[lukasz1804]

Taki dobór przedziałów wynika bezpośrednio z określenia funkcji gęstości i z określenia dystrybuanty, która zawiera gęstość jako funkcję podcałkową.

[majooo999]

Hehe no a teraz jakbyś to tłumaczył dla osoby ktora nie wie, bo ja taką jestem:D