Rozkład normalny(Rozkład łączny)

[waszak]

Mam problem z następującym zadaniem

\(\displaystyle{ Y_{1}}\) i \(\displaystyle{ Y_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach: \(\displaystyle{ Y_{1} \sim N (1, 3)}\) oraz
\(\displaystyle{ Y_{2} \sim N (2, 5)}\). Niech \(\displaystyle{ W_{1} = Y_{1} + 2Y_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{2} = 4Y_{1} - Y_{2}}\). Znaleźć rozkład łączny
zmiennej \(\displaystyle{ W = (W_{1} , W_{2} )}\).

Moje rozumowanie w tym zadaniu polegało na:
1 Znalezieniu rozkładu \(\displaystyle{ W_{1}, W_{2}}\)
Skorzystałem tu z własności na kombinację liniową rozkładów normalnych, kiedy zmienne są niezależne.
Wyszło mi \(\displaystyle{ W_{1} \sim N(5, 23)}\) i \(\displaystyle{ W_{2} \sim N(2, 53)}\)
2. Teraz powinienem jakoś wpaść na to, że W, to też jakiś rozkład normalny.
I w tym punkcie mam problem, bo nie wiem jak wywnioskować z \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\) rozkład W.

[lokas]

W parametrach rozkładu podajesz odchylenie czy wariancję?

[waszak]

wariancję, ale nie jestem pewien czy w treści zadania chcieli odchylenie.

[lokas]

Na moje oko jest tak \(\displaystyle{ W_{1} \sim N(5, 23)}\) i \(\displaystyle{ W_{2} \sim N(2,53)}\)

[waszak]

Korzystałeś z tego wzoru? Wydaje mi się, że nie podniosłeś b do kwadratu.

AU

a9df2fb7e6f93f0b504c3517fbfc07bd.png (1.39 KiB) Przejrzano 156 razy

[lokas]

już to kiedyś na tym forum wyjaśniałem, tylko, że z odchyleniami

Najprościej popatrzeć na FGM

\(\displaystyle{ X _{i}}\) ~ \(\displaystyle{ N(\mu _{i} ;\sigma _{i})}\)
Czyli \(\displaystyle{ M _{X _{i} } (t)=\exp\left( \mu _{i}t+ \frac{\sigma _{i} ^{2} t ^{2} }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ S=X _{1} +X _{2} +..X _{n}}\)
\(\displaystyle{ M _{S} (t)=M _{X _{1} } (t) \cdot M _{X _{2} } (t) \cdot ... \cdot M _{X _{n} } (t)=\exp\left( (\mu _{1} + \mu _{2} + .. +\mu _{n})t+ \frac{(\sigma _{1} ^{2} + \sigma _{2} ^{2} +.. + \sigma _{n} ^{2})t ^{2} }{2} \right)}\)

Wynika stąd, że zmienna S będąca sumą zmiennych o rozkładach normalnych ma Rozkład normalny
\(\displaystyle{ N\left(\mu _{1} + \mu _{2} + .. +\mu _{n} ; \sqrt{\sigma _{1} ^{2} + \sigma _{2} ^{2} +.. + \sigma _{n} ^{2}} \right)}\)

[waszak]

Zakladamy coś na temat \(\displaystyle{ X_{i}}\)(niezależność)

[lokas]

\(\displaystyle{ W}\) będzie miała rozkład normalny dwuwymiarowy
Twoje parametry były jednak poprawne bo nie wziąłem pod uwagę, że \(\displaystyle{ X}\) nie jest niezależny sam od siebie, a niezależność była właśnie tam w założeniach

[waszak]

I teraz jak mam wywnioskować rozkład W?

[lokas]

Jest takie twierdzenie
n-wymiarowa zmienna losowapodlega n-wymiarowemu rozkładowi normalnemu jeśli dowolna kombinacja liniowa jej składowych ma rozkład normalny.

[waszak]

Czyli W ~ N(coś, coś) x N(coś, coś)
tylko jakie to coś jest?
Zgaduję, że N(5, coś) x N(2, coś)

[lokas]

Ostatecznie będzie tak \(\displaystyle{ W_{1} \sim N(5, 23)}\) i \(\displaystyle{ W_{2} \sim N(2,53)}\)
\(\displaystyle{ W}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny

Znajdź sobie jeszcze gdzieś teorię o wielowymiarowym rozkładzie normalnym to zobaczysz jakie parametry będzie miała \(\displaystyle{ W}\)

[waszak]

kk. Właśnie po to, założyłem ten temat, żeby się tego dowiedzieć, ale spróbuje poszukać.
Czyli muszę znaleźć kowariancję zmiennej \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\), żeby wyznaczyć macierz kowariancji.

EDIT Poradziłem sobie