Mamy \(\displaystyle{ N + 1}\) ponumerowanych urn. Urna numer \(\displaystyle{ k}\) zawiera \(\displaystyle{ k}\) czerwonych kul i \(\displaystyle{ N-k}\) białych (\(\displaystyle{ k = 0, 1, . . . ,N}\)). Wybrano przypadkowo jedna z urn i dokonano z niej dwóch przypadkowych ciągnieć (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo, ze druga wylosowana kula jest czerwona pod warunkiem, ze pierwsza kula też jest czerwona.
moje rozwiązanie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{N+1} * \frac{ \frac{k}{N} * \frac{k-1}{N-1} }{ \frac{k}{N} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{N+1}}\) - prawdopodobieństwo wybrania k-tej urny
\(\displaystyle{ \frac{k}{N}}\) - prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli w pierwszym losowaniu
\(\displaystyle{ \frac{k}{N} * \frac{k-1}{N-1}}\) - prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli w pierwszym i drugim losowaniu
Oblicz prawdopodobieństwo (urny)
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Oblicz prawdopodobieństwo (urny)
Wprowadzimy kilka oznaczeń:
\(\displaystyle{ U_{k}}\) - wybieram k-tą urnę
\(\displaystyle{ A}\) - w pierwszym losowaniu dostaję czerwoną
\(\displaystyle{ B}\) - w drugim losowaniu dostaje czerwoną
Chcemy znaleźć \(\displaystyle{ P(B|A)}\)
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\)
Widzimy, że zdarzenie \(\displaystyle{ A \cap B}\) oznacza po prostu wylosowanie dwóch czerwonych kul. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\sum_{k=0}^{N}P(A \cap B |U_{k}) \cdot P(U_{k}) =\sum_{k=0}^{N} \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \cdot \frac{1}{N+1}}\)
\(\displaystyle{ P( A)=\sum_{k=0}^{N}P( A |U_{k}) \cdot P(U_{k}) =\sum_{k=0}^{N} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N+1}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}= \frac{\sum_{k=0}^{N} \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \cdot \frac{1}{N+1}}{\sum_{k=0}^{N} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N+1}}=\frac{\sum_{k=0}^{N}k(k-1)}{(N-1)\sum_{k=0}^{N}k }}\)
A to się da jeszcze uprościć, ze wzoru na sumę kwadratów i sumę ciągu arytmetycznego. ( i o ile się nie pomyliłem )
\(\displaystyle{ U_{k}}\) - wybieram k-tą urnę
\(\displaystyle{ A}\) - w pierwszym losowaniu dostaję czerwoną
\(\displaystyle{ B}\) - w drugim losowaniu dostaje czerwoną
Chcemy znaleźć \(\displaystyle{ P(B|A)}\)
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\)
Widzimy, że zdarzenie \(\displaystyle{ A \cap B}\) oznacza po prostu wylosowanie dwóch czerwonych kul. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\sum_{k=0}^{N}P(A \cap B |U_{k}) \cdot P(U_{k}) =\sum_{k=0}^{N} \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \cdot \frac{1}{N+1}}\)
\(\displaystyle{ P( A)=\sum_{k=0}^{N}P( A |U_{k}) \cdot P(U_{k}) =\sum_{k=0}^{N} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N+1}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}= \frac{\sum_{k=0}^{N} \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \cdot \frac{1}{N+1}}{\sum_{k=0}^{N} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N+1}}=\frac{\sum_{k=0}^{N}k(k-1)}{(N-1)\sum_{k=0}^{N}k }}\)
A to się da jeszcze uprościć, ze wzoru na sumę kwadratów i sumę ciągu arytmetycznego. ( i o ile się nie pomyliłem )
-
Hassgesang
- Użytkownik
- Posty: 206
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 17 razy
Oblicz prawdopodobieństwo (urny)
\(\displaystyle{ ... = \frac{ \frac{1}{3} (N-1)\cdot N \cdot (N+1) }{\frac{1}{2} (N-1)\cdot N \cdot (N+1)} = \frac{2}{3}}\)Adifek pisze:
\(\displaystyle{ P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}= \frac{\sum_{k=0}^{N} \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \cdot \frac{1}{N+1}}{\sum_{k=0}^{N} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N+1}}=\frac{\sum_{k=0}^{N}k(k-1)}{(N-1)\sum_{k=0}^{N}k }}\)