Wykaz prawdopodobienstwo

[konstancja97]

Czesc, pomozcie. Zadanie nie jest z zadnego podrecznika tylko z zycia i nie wiem dokladnie nawet jak je rozwiazac, bo nigdy sie z takim nie spotkalam i dla mnie to czarna magia.

Loteria na 150 osob, z ktorej 25 osob na pewno wygrywa. Na te 150 osob, ktore w niej uczestnicza znam 17. Jakie jest prawdopodobienstwo ze ktores z tych 17 znajomych wygra?

[janusz47]

\(\displaystyle{ p = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}}\) - prawdopodobieństwo wygrania przez osobę.
Z rozkładu Bernoulliego
\(\displaystyle{ Pr \{X = 17 \} = \left(\frac{1}{6}\right)^{17}\left( \frac{5}{6}\right )^{133} \approx}\) Integralne twierdzenie Moivre'a-Laplace
\(\displaystyle{ \approx \phi \left( \frac{ 17 - 150\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{150\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}}\right) \approx \phi \left( \frac{-8}{4.56} \right) = \phi(-1.75) = 1 - \phi(1.75)= 1- 0.95994 \approx 0.04.}\)

[mat_61]

Gdyby liczyć to z rozkładu Bernoulliego, to chyba brakuje tam czynnika \(\displaystyle{ {150 \choose 17}}\) ale licząc w ten sposób, policzyliśmy p-stwo osiągnięcia \(\displaystyle{ 17}\) sukcesów przy \(\displaystyle{ 150}\) próbach dla p-stwa sukcesu w jednej próbie wynoszącej \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

Wg mnie takie rozwiązanie nie jest zgodne z treścią zadania. Tutaj mamy \(\displaystyle{ 150}\) osób z której wybierzemy \(\displaystyle{ 25}\) szczęśliwców. Ja znam \(\displaystyle{ 17}\) z tych \(\displaystyle{ 150}\) osób. Jakie jest p-stwo, że co najmniej jedna z nich(*) znajdzie się w grupie tych wybranych.

(*) ewentualnie dokładnie jedna z nich

[janusz47]

\(\displaystyle{ p = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}}\) - prawdopodobieństwo wygrania przez osobę.
Z rozkładu Bernoulliego
\(\displaystyle{ Pr \{X = 17 \} = {150 \choose 17}\left(\frac{1}{6}\right)^{17}\left( \frac{5}{6}\right )^{133} \approx}\) Integralne twierdzenie Moivre'a-Laplace
\(\displaystyle{ \approx \phi \left( \frac{ 17 - 150\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{150\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}}}\right) \approx \phi \left( \frac{-8}{4.56} \right) = \phi(-1.75) = 1 - \phi(1.75)= 1- 0.95994 \approx 0.04.}\)

[mat_61]

Niezależnie od braku tego dwumianu samo rozwiązanie nie jest wg mnie odzwierciedleniem treści zadania. Tak jak napisałem wcześniej w ten sposób:

policzyłeś p-stwo osiągnięcia \(\displaystyle{ 17}\) sukcesów przy \(\displaystyle{ 150}\) próbach dla p-stwa sukcesu w jednej próbie wynoszącego \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

Natomiast treść zadania jest inna, co też zaznaczyłem w swoim poście:

Tutaj mamy \(\displaystyle{ 150}\) osób z której wybierzemy \(\displaystyle{ 25}\) szczęśliwców. Ja znam \(\displaystyle{ 17}\) z tych \(\displaystyle{ 150}\) osób. Jakie jest p-stwo, że co najmniej jedna z nich(*) znajdzie się w grupie tych wybranych.

(*) ewentualnie dokładnie jedna z nich

Mówiąc inaczej jest \(\displaystyle{ 150}\) osób wśród których jest \(\displaystyle{ 17}\) dziewczyn (to te które znam ). Losujemy \(\displaystyle{ 25}\) osób które pojadą na wycieczkę (to te wygrywające). Jakie jest p-stwo, że co najmniej jedna z dziewcząt (ewentualnie dokładnie jedna) pojedzie na wycieczkę. Jak dla mnie mamy tutaj klasyczne p-stwo z kombinacjami (plus ewentualne wykorzystanie p-stwa zdarzenia przeciwnego).