Rozkład zmiennych losowych

[prawyakapit]

zmienna losowa X ma rozkład X: U([0,4])
a zmienna losowa Y to \(\displaystyle{ Y=X^{2}-4X+4}\)

F(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 &\text{dla } x<1\\ \frac{1}{3}x- \frac{1}{3} &\text{dla } x \in [1,4] \\1&\text{dla} x>4 \end{cases}}\)

mam wyznaczyć rozkład zmiennej Y, na ćwiczeniach najpierw liczyliśmy gęstość x, wyznaczaliśmy funkcje odwrotne

\(\displaystyle{ g_{1} ^{-1}(y)=2- \sqrt{y}}\)
\(\displaystyle{ g_{2}^{-1}(y)=2+ \sqrt{y}}\)

i wyliczyliśmy ich pochodne jednak całkowicie nie rozumiem dalszej części rozwiązania
\(\displaystyle{ f_{y}(t)= \sum_{i}^{} f_{x} (g_{i} ^{-1}(t)) \cdot (g_{i} ^{-1}'(t))}\)

dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]
f_{y}(t)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t} } + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t} }}\)

dla\(\displaystyle{ t \in [1,4]}\)

\(\displaystyle{ f_{y}(t)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t} }}\)

[Zordon]

\(\displaystyle{ Y=(X-2)^2}\)
Spróbuj bezpośrednio wyznaczyć dystrybuantę zmiennej Y, to nie takie trudne:
dla \(\displaystyle{ t\geq 0}\):
\(\displaystyle{ P(Y<t^2)=P((X-2)^2<t^2)=P(|X-2|<t)}\) no i rozważ przypadki względem t.
Np. co się dzieje dla \(\displaystyle{ t\geq 2}\)?

[prawyakapit]

dlaczego mam rozpatrywać \(\displaystyle{ t \ge 2}\) ?

dalej będzie\(\displaystyle{ P( |X-2|<t)=P(X \le t+2 \wedge X \ge -t+2)}\)tylko dalej mi to nic nie mówi