Jaka to zmienna?

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Jaka to zmienna?

Post autor: Mistrz »

Witam
Założenia:
\(\displaystyle{ X_1,\dots , X_n:\Omega \to \mathbb{R}}\) zmienne losowe
\(\displaystyle{ \phi_{X_1},\dots , \phi_{X_n}:\mathbb{R} \to \mathbb{C}}\) funkcje charakterystyczne powyższych zmiennych
\(\displaystyle{ a_1,\dots , a_n}\) liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)
\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^n a_l=1}\)
\(\displaystyle{ \phi = \sum_{l=1}^n a_l\phi_{X_l}}\)
Rozkmina:
Oczywiście \(\displaystyle{ \phi}\) spełnia takie warunki, jak: \(\displaystyle{ \phi(0)=1}\), ograniczoność przez jedynkę, ciągłość, antysymetria, nieujemna określoność. Stąd wnioskuję, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej.
Pytania:
Jaka to zmienna? Czy można ją w jakiś prosty sposób wyrazić jako funkcję od zmiennych \(\displaystyle{ X_l}\) i liczb \(\displaystyle{ a_l}\)? Czy to co napisałem wyżej jest dobrym uzasadnieniem na to, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Jaka to zmienna?

Post autor: Adifek »

Oczywiście spełnia takie warunki, jak: , ograniczoność przez jedynkę, ciągłość, antysymetria, nieujemna określoność. Stąd wnioskuję, że jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej.
No ok... Ale ogólnie korzystanie z twierdzenia Bochnera jest mało wygodne (chyba pierwszy raz widzę, by ktoś je użył ). Z resztą nie potrzeba tak "silnych" twierdzeń.


Weźmy rozkłady \(\displaystyle{ \mu_{1},...,\mu_{n}}\) zmiennych \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\). Odpowiadają im oczywiście funkcje charakterystyczne \(\displaystyle{ \phi_{1},...,\phi_{n}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu_{i}}\) jest też rozkładem prawdopodobieństwa. Zobaczmy jak wygląda odpowiadająca mu funkcja charakterystyczna:

\(\displaystyle{ \phi(t) = \int_{\mathbb{R}}e^{itx} \mbox{d} \sum_{i=1}^{n}a_{i}\mu_{i}(x) = \int_{\mathbb{R}}e^{itx} \sum_{i=1}^{n}a_{i} \mbox{d} \mu_{i}(x) =\sum_{i=1}^{n}a_{i} \int_{\mathbb{R}}e^{itx} \mbox{d} \mu_{i}(x) = \sum_{i=1}^{n}a_{i}\phi_{i}(t)}\)
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Jaka to zmienna?

Post autor: Mistrz »

Aha. Czyli \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną zmiennej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ \mu=\sum_{l=1}^n a_l\mu_l}\). Innymi słowy dla dowolnego borelowskiego \(\displaystyle{ A}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X\in A) = \mu(A) = \sum_{l=1}^n a_l\mu_l(A) = \sum_{l=1}^n a_l\mathbb{P}(X_l\in A)}\). Dzięki
ODPOWIEDZ