Problem dot. rozkładu Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 gru 2012, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Problem dot. rozkładu Poissona
Witam,
Jestem nowy na forum. To mój pierwszy wpis, pozdrawiam więc stałych bywalców!
Mam problem z następującym zadaniem:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) określa ilość awarii urządzeń typu I, zm. losowa \(\displaystyle{ Y}\) określa ilość awarii urządzeń typu II na tym samym przedziale czasowym. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), \(\displaystyle{ Y}\) rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Zakładamy niezależność \(\displaystyle{ X ,Y}\).
Mam podać prawdopodobieństwo tego, że ilość awarii urządzenia typu I będzie 2 razy większa od awarii urządzenia typu II.
Jak się za to zabrać? \(\displaystyle{ P(X = 2Y)}\) <- coś takiego? Co z tym robić?
Pozdrawiam
Jestem nowy na forum. To mój pierwszy wpis, pozdrawiam więc stałych bywalców!
Mam problem z następującym zadaniem:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) określa ilość awarii urządzeń typu I, zm. losowa \(\displaystyle{ Y}\) określa ilość awarii urządzeń typu II na tym samym przedziale czasowym. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\), \(\displaystyle{ Y}\) rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Zakładamy niezależność \(\displaystyle{ X ,Y}\).
Mam podać prawdopodobieństwo tego, że ilość awarii urządzenia typu I będzie 2 razy większa od awarii urządzenia typu II.
Jak się za to zabrać? \(\displaystyle{ P(X = 2Y)}\) <- coś takiego? Co z tym robić?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 20 gru 2012, o 11:16 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Problem dot. rozkładu Poissona
\(\displaystyle{ P(X = 2Y)= \sum_{k=0}^{ \infty }P(X=k \wedge 2Y=k)=\sum_{k=0}^{ \infty }P(X=k) P(2Y=k)}\)
Ostatnia równość z niezależności.
Ostatnia równość z niezależności.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 gru 2012, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Problem dot. rozkładu Poissona
Czyli w dalszej kolejności powinienem policzyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(2Y = k) = \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(Y = k/2) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{k!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{\frac{k}{2}} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{(\frac{k}{2})!}}\)
I tutaj zaczynają się schody.
Marzy mi się uproszczenie tego i zsumowanie nieskończonego szeregu. Tylko jak?
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(2Y = k) = \sum_{k = 0}^{\infty}P(X = k)P(Y = k/2) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{k!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{\frac{k}{2}} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{(\frac{k}{2})!}}\)
I tutaj zaczynają się schody.
Marzy mi się uproszczenie tego i zsumowanie nieskończonego szeregu. Tylko jak?
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 gru 2012, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Problem dot. rozkładu Poissona
Ok czyli mam:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{(2k)!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{k!} = {e}^{{-\lambda}_{1} - {\lambda}_{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k}{{\lambda}_{2}}^{k}}{(2k)!k!}}\)
I co teraz?
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k} {e}^{{-\lambda}_{1}}}{(2k)!} \frac{{{\lambda}_{2}}^{k} {e}^{{-\lambda}_{2}}}{k!} = {e}^{{-\lambda}_{1} - {\lambda}_{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{{\lambda}_{1}}^{2k}{{\lambda}_{2}}^{k}}{(2k)!k!}}\)
I co teraz?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Problem dot. rozkładu Poissona
\(\displaystyle{ Pr\{ X >2Y \} = \sum_{y=1}^{\infty}Pr\{ X >2Y \ Y = y \} = \sum_{y=1}^{\infty}Pr\{X>2Y \}\cdot Pr\{Y = y \} = \sum_{y =1}^{\infty}\sum_{x = 2}^{\infty}\frac{\lambda_{1}^{x -2y}}{(x -2y)!}e^{-\lambda_{1}}\cdot \frac{\lambda_{2}^{y}}{y!}e^{-\lambda_{2}} = \sum_{y =1}^{\infty}\sum_{x = 2}^{\infty}\frac{\lambda_{1}^{x -2y}}{(x -2y)!}\cdot \frac{\lambda_{2}^{y}}{y!}e^{-(\lambda_{1} + \lambda_{2})}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 gru 2012, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Problem dot. rozkładu Poissona
Co \(\displaystyle{ P(X > 2Y)}\) ma z tym wspólnego?
Nie rozumiem logiki, która się za tym kryje i wydaje mi się, że trochę to nie na temat.
Nie rozumiem logiki, która się za tym kryje i wydaje mi się, że trochę to nie na temat.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Problem dot. rozkładu Poissona
Takie rozwiązanie dla zdarzenia " żywotność urządzenia pierwszego jest ponad dwa razy większa od żywotności urządzenia drugiego". Logika jest? Jest! Tylko nie ma logiki w moim niedopatrzeniu, że akurat dwa razy większa.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 20 gru 2012, o 02:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Problem dot. rozkładu Poissona
A czy policzenie tego na zasadzie:
\(\displaystyle{ P(Y=k | X + Y = 3k)}\)
byłoby dobrym pomysłem?
\(\displaystyle{ P(Y=k | X + Y = 3k)}\)
byłoby dobrym pomysłem?
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Problem dot. rozkładu Poissona
Sprawdź. Bardzo możliwe, że wyjdzie lepiej.
\(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)}\)
\(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)}\)