policzenie wariancji i kowariancji

[matt9991]

Witam,
mam następujące zadanie: Rzucamy dwukrotnie monetą. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę orłów w pierwszym rzucie, a \(\displaystyle{ Y}\) ogólną liczbę orłów. Czy zmienne \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne? Ile wynosi \(\displaystyle{ Cov(X,Y)}\)? Ile wynosi \(\displaystyle{ Var(X+Y)}\)?
Podejrzewam, że jest ono łatwe, ale nie wiem czemu wychodzi mi, że \(\displaystyle{ Var(X) , Var(Y)}\) równają się \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ Cov(x,y)= \frac{1}{4}}\) ale to wydaje mi się, że jest dobrze?

[pyzol]

A wiesz co oznacza, że wariancja wynosi \(\displaystyle{ 0}\)?
Pokaż jak liczysz:
\(\displaystyle{ \mathcal{E}X,\mathcal{E}X^2}\)

[matt9991]

\(\displaystyle{ \mathcal{E}X=0 \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E}X^2=0 \cdot \frac{3}{4}+1 \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}}\)
oznacza chyba, że jest symetryczny, tak?

[pyzol]

Oznacza że z prawdopodobieństwem równym jeden przyjmuje jedną wartość.
\(\displaystyle{ \mathcal{E}X^2 =0^2\cdot P(X=0)+1^2\cdot P(X=1)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

[matt9991]

Ok, dziękuję.
\(\displaystyle{ \mathcal{E}X^{2}=1/2}\)
więc \(\displaystyle{ Var \left( X \right) =\frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E}Y^{2}=0^{2} \cdot \frac{1}{3}+1^{2} \cdot \frac{1}{3}+2^{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ Var \left( Y \right) =\frac{5}{3}- \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \right) =\frac{3}{2}}\)
a \(\displaystyle{ \mathcal{E}XY=0 \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot \frac{1}{4}+2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}}\)
czyli \(\displaystyle{ Cov \left( X,Y \right)=\frac{1}{4}}\)
Wszystko teraz się zgadza?

[pyzol]

\(\displaystyle{ P(Y=0)=P(Y=2)=\frac{1}{4}\\
P(Y=1)=\frac{1}{2}}\)