Zbieżność wg rozkładu pary zmiennych niezależnych

[Mistrz]

Założenia:
\(\displaystyle{ X_n}\) zbiega wg rozkładu do \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ Y_n}\) zbiega wg rozkładu do \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ \bigwedge_{n\in \mathbb{N}} X_n \perp Y_n}\)
\(\displaystyle{ X\perp Y}\)
Teza:
\(\displaystyle{ (X_n,Y_n)}\) zbiega wg rozkładu do \(\displaystyle{ (X,Y)}\)
Pytanie: Jak to ugryźć?

[Zordon]

A jaką masz definicję słabej zbieżności wektorów losowych? Zawsze najłatwiej patrzeć na funkcje charakterystyczne, ale to kwestia tego czy były odpowiednie twierdzenia na zajęciach.

[Mistrz]

No dobrze, przez funkcje charakterystyczne, czyli chcemy pokazać ich zbieżność punktową w każdym punkcie.
No to zastanówmy się, co to jest funkcja charakterystyczna pary niezależnych zmiennych: \(\displaystyle{ \phi_{X,Y}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}: \phi_{X,Y}(t_1,t_2) = \mathbb{E} \exp(i(t_1X+t_2Y)) = \mathbb{E}\exp(it_1X)\exp(it_2Y) = \mathbb{E}\exp(it_1X)\mathbb{E}\exp(it_2Y) = \phi_X(t_1)\phi_Y(t_2)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \phi_{X_n,Y_n}(t_1,t_2) = \phi_{X_n}(t_1)\phi_{Y_n}(t_2) \to \phi_X(t_1)\phi_Y(t_2) = \phi_{X,Y}(t_1,t_2)}\) wyszło łatwo
Ale to zadanie było jeszcze zanim poznaliśmy f. char.

[Zordon]

Dobrze, ale nie mogę podpowiedzieć innego rozwiązania, dopóki nie podasz mi waszej wyjściowej definicji słabej zbieżności dla wektorów losowych.

[Mistrz]

To było jakoś tak: \(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_n) \to \mathbb{E}f(X)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ f}\) ciągłych ograniczonych

[Zordon]

To będzie dosyć ciężko. Łatwiej sobie poradzić mając definicję ze zbieżnością dystrybuant... Najpierw spróbuj się zmierzyć z przypadkiem funkcji ciągłej ograniczonej o rozdzielonych zmiennych. To prawdopodobnie jest koniec, bo takimi funkcjami można w sensowny sposób przybliżać każdą funkcję ciągła ograniczoną. Musiałbym się zastanowić jak to sformalizować.