Gra w kości z przywilejami

[Misticfrezer]

Witam!

Mam pewien problem z rachunkiem prawdopodobieństwa, a że z matematyki nie jestem zbyt lotny to zwracam się tutaj o pomoc/naprowadzenie.

Bolek i Lolek grają w pewną grę. Gra polega na tym, że każdy z nich rzuca stuścienną kostką (po prostu losuje liczbę z przedziału 1-100) Wygrywa ten, kto wyrzuci WIĘKSZĄ liczbę niż przeciwnik.

Tutaj prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{4950}{10000}}\)

Ale nagle Bolek zyskuje przywilej: do każdego wyniku rzutu kostką dodaje 10. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo, że Bolek wygra?

I jeszcze jedno: Jakie bedzie prawdopodobieństwo wygranej Bolka, gdy przywilej Bolka będzie równy 100? [czyli Bolek otrzymuje de facto liczby od 100 do 200] (sto to maksymalna wartość przywileju)

I czy ma jakiś wpływ na wynik prawdopodobieństwa, gdy Bolek będzie miał przywilej np. 90, a Lolek 80, czy to można policzyć tak jakby Lolek miał 0, a Bolek 10 pkt przywileju?

Nie wiem, czy to łatwe czy trudne, ale mnie się coś nie zgadza

Pozdrawiam

[*Kasia]

Wszystkich: 100000.
Sprzyjających: \(\displaystyle{ 100\cdot 10+99+98+...+10=1000+4950-45=5905}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{5905}{100000}=\frac{1181}{2000}}\)

[Misticfrezer]

Bardzo fajnie!

Ale ja potrzebuję wzoru, bo wyliczenie prawdopodobieństwa jest mi potrzebne w programie.
Wymodziłem coś takiego:

\(\displaystyle{ p =}\) przywilej
\(\displaystyle{ P = \frac{100 \cdot p + [(99 + p) \cdot \frac{n}{2}]}{10000}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ n}\) (ilość elementów ciągu) jest równa \(\displaystyle{ 99-p}\)

Nie wiem natomiast jak obliczyć ilość zdarzeń, które trzeba odjąć. Gdy przywilej wynosi 0, ta 'przekątna', kiedy sie rozrysuje sprzyjające zdarzenia na tabelce 100x100 wynosi 100 pól, tj. po 50 na każdego gracza.

Jak widać gdy p=10, ta 'przekątna' wynosi dla każdego po 45, które odejmujemy od wyniku, razem 90.

Pozatym mój tzw. wzór sie sypie gdy \(\displaystyle{ p \geqslant 99}\)

Pozdrawiam

#edit: Czyżby owa 'przekątna' wynosi \(\displaystyle{ \frac {100 - p}{2}}\) ??

[*Kasia]

Jeśli bonus wynosi n, to:
zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 100n+99+98+...+n=100n+\frac{99\cdot 100}{2}-\frac{(n-1)n}{2}=100n+4950-\frac{n(n-1)}{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ P=\frac{100n+4950-\frac{n(n-1)}{2}}{10000}}\).

[Misticfrezer]

Wielkie dzięki!
Naprawdę mi pomogłaś!