prawd. warunkowe -4 zadania

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kakusia18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: kakusia18 »

zad 1
W szkole uczy się 94 uczniów , 40 w klasie I, 24 w klasie II oraz 30 w III klasie. Okazało się , że jeden z dwóch losowo wybranych uczniów uczy się w wyższej klasie niż drugi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że starszy z nich uczy się w III klasie ?

zad 2
W jednej urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami od 1 do 8 , w drugiej zaś 4 kule białe i 4 kule czarne. losujemy najpierw kulę z pierwszej urny, zaś potem tyle kul z drugiej ile wskazał numer kuli wylosowany z pierwszej . Jakie jest prawdopodobieństwo że w śród wylosowanych z drugiej urny kul jest tyle samo białych co i czarnych ?

zad 3
Mamy trzy karty: czerwoną z obu stron, białą z obu stron i biało czerwoną. Wylosowałem jedną z nich i położyłem na stole. Na wierzchu karty jest kolor czerwony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak samo jest po spodem ?

zad 4
W pewnej miejscowości pracują dwie pary małżeńskie, których roczny dochód jest taki sam . Pierwszy mąż oszczędza więcej (procentowo) ze swojej pensji niż drugi, również pierwsza żona jest bardziej od drugiej oszczędna. Mimo to druga para oszczędza więcej pieniędzy. Wyjaśnij paradoks.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: mat_61 »

Czy próbowałaś cokolwiek robić z tymi zadaniami? Czego ewentualnie nie rozumiesz?

Jeżeli chodzi o zadanie 4) to nie widzę tutaj żadnego paradoksu.
Większe procentowo oszczędności nie oznaczają przecież zaoszczędzenie większej kwoty pieniędzy. Jeżeli np. pierwsza rodzina zarabia 1 000 PLN i oszczędza 50% to ich oszczędności wynoszą 500 PLN. Natomiast druga rodzina może zarabiać 1 000 000 PLN i oszczędzać "tylko" 0,5% co oznacza oszczędności w wysokości 5000 PLN.
kakusia18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: kakusia18 »

zad 4. W zadaniu podane jest że obie rodziny zarabiają tyle samo w skali roku.

Odnośnie zadania 2,
próbowałam sobie przedstawić treść za pomocą drzewka. Najpierw losujemy kule z nr. Teraz przypadki odnośnie wylosowanego nr, a w zasadzie przypadki gdy nr na kuli jest parzysty, bo wtedy mamy szanse dostać równą ilość kul białych i czarnych.Od danego nr kuli wychodzą mi przypadki gdy mamy najpierw białą lub czarną kule a potem od tego kolejne gałązki z kolorem kuli ?Tylko mam problem z formalizowaniem zapisu i wartości w poszczególnych przypadkach.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: pyzol »

zad 4. W zadaniu podane jest że obie rodziny zarabiają tyle samo w skali roku.
Ale masz rozkład na pary i tak w prosty sposób możemy wziąć skrajne przypadki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
\text{R}&\text{mąż}&\text{żona}\\
1&4000&0\\
2&0&4000
\end{array}}\)

Żaden problem znaleźć takie procentowe oszczędności, by się to zgadzało.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: mat_61 »

4) Nie zwróciłem uwagi na to, że rodziny mają równy dochód, ale oczywiście może być on różnie rozdzielony pomiędzy męża i żonę, co wyjaśnił już pyzol

2) Tutaj skorzystaj ze wzoru na p-stwo całkowite. P-stwo wylosowania każdej z liczb z pierwszej urny jest takie same. Pozostaje obliczyć p-stwo wylosowania jednakowej liczby kul każdego z kolorów z drugiej urny w przypadku losowania parzystej liczby kul (dwóch, czterech, sześciu lub ośmiu).

\(\displaystyle{ P(A)=P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1})+P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2})+P(A/B_{3}) \cdot P(B_{3})+P(A/B_{4}) \cdot P(B_{4})}\)

\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - p-stwo wylosowania jednakowej liczby kul każdego z kolorów pod warunkiem wylosowania dwójki z pierwszej urny
\(\displaystyle{ P(B_{1})}\) - p-stwo wylosowania dwójki z pierwszej urny

itd.
kakusia18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: kakusia18 »

Pomoże Ktoś z resztą zadań ? prosze.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: mat_61 »

1) 3) Tutaj skorzystaj wprost ze wzoru na p-stwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{|A \cap B|}{|B|}}\) , ponieważ \(\displaystyle{ |\Omega|}\) jest jednakowa dla obydwu p-stw.

1) zdarzenie B: jeden z uczniów uczy się w wyższej klasie niż drugi (czyli uczniowie są z klas II-I, III-I lub III-II)

3) zdarzenie B: na wierzchu (czyli na jednej stronie) jest kolor czerwony (czyli jest to karta czerwono-biała lub czerwono-czerwona)
kakusia18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 28 paź 2012, o 16:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: kakusia18 »

Zad 1 zrobione:) Przepraszam a mógłbyś w zad 2 i 3 przynajmniej po jednym przypadku rozpisać zliczanie?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: mat_61 »

Zad 3) jest prostsze niż 1) Praktycznie nic nie trzeba liczyć:
\(\displaystyle{ |A \cap B|=...(?)}\) ile jest kart które są czerwone z jednej i drugiej strony?
\(\displaystyle{ |B|=...(?)}\) ile jest kart które są czerwone tylko z jednej strony?

Zad 2) Dla pierwszego składnika:
\(\displaystyle{ P(B_{1})=...(?)}\) jakie jest p-stwo wylosowania kuli z numerem dwa z pierwszej urny?
\(\displaystyle{ P(A/B_{1})=...(?)}\) jakie jest p-stwo wylosowania kuli białej i czarnej w przypadku losowania dwóch kul z drugiej urny?
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: leszczu450 »

Chciałbym odkopać temat i wrócić do zadania nr 2

Określam:

\(\displaystyle{ H_2}\)- wylosowanie dwójki z urny
\(\displaystyle{ H_4}\)- wylosowanie czwórki z urny
\(\displaystyle{ H_6}\)- wylosowanie szóstki z urny
\(\displaystyle{ H_8}\)- wylosowanie ósemki z urny
\(\displaystyle{ A}\)- wylosowanie tej samej liczby kul białych i czarnych

Muszę policzyć zatem :

\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_2)P(H_2) + P(A|H_4)P(H_4) + P(A|H_6)P(H_6) + P(A|H_8)P(H_8)}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ P(H_2)=P(H_4)=P(H_6)=P(H_8)= \frac18}\)

Teraz zastanawiam się jak obliczyć \(\displaystyle{ P(A|H_2)}\)? Omegą w tym przypadku będą dowolne dwie kule wylosowane z ośmiu czyli \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) czy może dowolny ciąg dwuelementowy ze zbioru ośmioelementowego czyli \(\displaystyle{ 8 \cdot 7}\)?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: pyzol »

Nie ma różnicy. Dla pierwszego modelu. Masz liczebność zdarzenia \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \binom{4}{1}\cdot \binom{4}{1}}\).
W drugim ważna jest kolejność więc pierwsza czarna druga biała:
\(\displaystyle{ 4\cdot 4}\), ale również musimy dorzucić opcję pierwsza biała druga czarna:
\(\displaystyle{ 4\cdot 4}\).
Wyjdzie na to samo. Przy czym w drugim przypadku będziesz miał \(\displaystyle{ k!}\) razy więcej możliwości. W omedze jak i w zdarzeniach. Z reguły jeśli nie pada pytanie w zadaniu dotyczące kolejności wylosowania, to upraszczamy model do pierwszego.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: leszczu450 »

pyzol, dziękuję bardzo za odpowiedź : )
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: Yelon »

chciałbym również odkopać temat i z kolei wrócić do zadania trzeciego:
mat_61 pisze: \(\displaystyle{ |A \cap B|=...(?)}\) ile jest kart które są czerwone z jednej i drugiej strony?
\(\displaystyle{ |B|=...(?)}\) ile jest kart które są czerwone tylko z jednej strony?
czy według tego przepisu nie wychodzi \(\displaystyle{ \left| A \cap B\right| = 1=\left| B\right|}\)?
bo jest jedna karta z obu stron czerwona, oraz jedna z jednej czerwona, z kolei w zadaniu analogicznym (121882.htm), odpowiedź wynosi \(\displaystyle{ \frac {2} {3}}\).

Prosiłbym o jakieś wytłumaczenie
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

prawd. warunkowe -4 zadania

Post autor: pyzol »

\(\displaystyle{ A}\) - na górze jest czerwona
\(\displaystyle{ B}\) - z obu stron jest czerwona
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{2}\\
P(A \cap B)=P(B)=\frac{1}{3}\\
P(B|A)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}}\)
ODPOWIEDZ