Przy stole jest F osób. Na koniec posiłku podają sobie oni po kolei talerz, na którym jest C ciastek czekoladowych i D maślanych. Ciastek maślanych jest zawsze więcej niż osób (D>F), liczba ciastek czekoladowych zależy od dnia. Każda z osób bierze z talerza jedno ciastko - prawdopodobieństwo, że którakolwiek z nich wybierze ciasto czekoladowe wynosi p, a że maślane 1-p. Jeśli jednak ciastka czekoladowe się skończą, kolejne osoby są zmuszone do wzięcia ciastka maślanego.
(a) W sytuacji, gdy C>F, znajdź:
(i) prawdopodobieństwo, że w momencie, gdy n osób wzięło już po ciastku, zostało zabranych dokładnie k ciastek czekoladowych
moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ P_{k,n}= {n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k}}\)
(b) W sytuacji, gdy C<F:
(i) znajdź prawdopodobieństwo, że ostatnie ciastko czekoladowe zostanie zabrane przez n-tą osobę w kolei
Wydawałoby się, że powinno to być prawdopobieństwo z poprzedniego podpunktu dla k=C, ale ten podpunkt jest wart 8 punktów, więc chyba potrzebne jest coś innego.
(ii) w związku z tym, pokaż, że prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna osoba będzie zmuszona wybrać ciastko maślane wynosi:
\(\displaystyle{ P_{klapa}= \sum_{f=C}^{F-1} {f-1 \choose C-1} p^{C} (1-p)^{f-C}}\)
Wiem, że prawdopodobieństwo klapy to suma \(\displaystyle{ P_{k,n}}\) dla wszystkich możliwych k i n, ale nie wiem, skąd w kombinacji wzięło się C-1 i f-1. Bardzo proszę o pomoc.