dystrybuanta zmiennej losowej

[Studentka1992]

jak rozwiązać takie zadanie(krok po kroku) :

Wyznaczyć zbiór wszystkich trójek \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\), dla których następująca funkcja jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej:

\(\displaystyle{ F=\left\{\begin{array}{l} at^{2}, \ \ \ t<0 \\bt+c, \ \ \ 0 \le t<2\\1, \ \ \ t \ge 2 \end{array}}\)

[szw1710]

Dystrybuanta jest niemalejąca i lewostronnie ciągła. Granicą w \(\displaystyle{ -\infty}\) jest zero, a w \(\displaystyle{ +\infty}\) jedynka.

Drugi sposób - gęstość to pochodna z dystrybuanty. Gęstość jest nieujemna i całka z gęstości (po całej prostej) jest jedynką.

[Studentka1992]

Nie rozumiem w ogóle po co te dwa sposoby i do czego miałabym je wykorzystać. Nie mógłbyś jaśniej wytłumaczyć swojego toku rozumowania szw1710 ?

[szw1710]

Podaję pewną alternatywę. Rób jak uważasz. Podałem wszystkie potrzebne własności dystrybuanty. Zobacz też mój wykład w kompendium: 291171.htm

Tu nie ma co rozumować, a trzeba sprawdzać własności. Zadanie jest czysto mechaniczne. Powtarzam: dystrybuanta (wg definicji \(\displaystyle{ F_<}\) z mojego wykładu) jest funkcją lewostronnie ciągłą, niemalejącą, \(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}F_<(x)=0}\), \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}F_<(x)=1.}\)

[Studentka1992]

Własności dystrybuanty:
\(\displaystyle{ 1.}\)\(\displaystyle{ \forall t_{0} \in R \ \ \ \ \lim_{t\to t^{+}_{0}}F_{x}\left( t\right)=F\left( t_{0}\right)}\)

\(\displaystyle{ 2.}\)\(\displaystyle{ \forall t_{1},t_{2} \in R \ \ \ t_{1}<t_{2} \Rightarrow F\left( t_{1}\right)<F\left( t_{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ 3.}\)\(\displaystyle{ \lim_{t\to - \infty }}F\left( t\right)=0 \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \lim_{t\to + \infty }}F\left( t\right)=1}\)


I ok, policzyłam sobie granice z \(\displaystyle{ 1.}\) własności i mi wychodzi, że \(\displaystyle{ c=c \ i \ 1=1}\) a to mi niczego nie wnosi. Z czego mam liczyć te granice z \(\displaystyle{ 2.}\) warunku z której części \(\displaystyle{ F}\)?

[szw1710]

Na lewo od zera gołym okiem widać, że musi być \(\displaystyle{ a=0}\). Teraz wyznaczamy \(\displaystyle{ b,c}\). Skoro \(\displaystyle{ F}\) nie maleje, to musi być \(\displaystyle{ b\ge 0}\). Dalej, musimy też mieć \(\displaystyle{ b\cdot 1+c\le 1}\). I już. Należy też zadbać o lewostronną ciągłość. Rozwiązanie jest niejednoznaczne. Jeśłi dodatkowo założymy ciągłość dystrybuanty, to już jest jednoznaczne. Nie było czasem w tekście zadania ... zmiennej losowej ciągłej?

Niejednoznaczność bierze się np. stąd, że mamy nieskończenie wiele odcinków z tendencją wzrostową zawartych w prostokącie \(\displaystyle{ (0,0), (2,0), (2,1), (0,1)}\). Mówię trochę nieściśle, ale obrazowo. Narysuj kilka wykresów możliwych dystrybuant.

Jeśli np. \(\displaystyle{ b=0}\), to \(\displaystyle{ c}\) może być dowolną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wtedy zmienna losowa jest skokowa.

[Studentka1992]

No właśnie nie ma nic o ciągłości... I dodatkowo zastanawiają mnie przedziały, czy przypadkiem nie powinno być tak:

\(\displaystyle{ F=\left\{\begin{array}{l} at^2, \ t \le 0\\bt+c, \ 0<t \le 2\\1, \ t>2 \end{array}}\)

czy wtedy zadanie nie staje się prostsze?

[szw1710]

W oryginalnym zadaniu przedziały dostosowane są do \(\displaystyle{ F_+}\) z mojego wykładu. Zobacz na definicję dystrybuanty, jakiej używa wykładowca. Potem dalsze uwagi, żebym wiedział do czego się odnieść.

W Twoich warunkach masz prawostronną ciągłość, a więc wg \(\displaystyle{ F_+}\) tj. \(\displaystyle{ F_X(t)=P(X\le t)}\). Nieprawdaż? Wtedy rozwiązanie jest niejednoznaczne. Gdyby wziąć wersję pierwotną zadania z Twojego posta i definicję \(\displaystyle{ F_X(t)=P(X<t)}\), to zadanie ma rozwiązanie jednoznaczne.

[Studentka1992]

Tak powinna wyglądac funkcja, zgdonie z tym co robimy na wykładach i ćwiczeniach

\(\displaystyle{ F=\left\{\begin{array}{l} at^2, \ t \le 0\\bt+c, \ 0<t \le 2\\1, \ t>2 \end{array}}\)

[szw1710]

Podaj mi definicję dystrybuanty, jaką się posługujesz. Mówiłem o dwóch równoprawnych, lecz nierównoważnych podejściach w moim wykładzie w Kompendium. Kierowałem Cię tam wcześniej.

[Studentka1992]

Dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy funkcję \(\displaystyle{ F_{x}}\) określoną na \(\displaystyle{ R^{n}}\) o wartościach w \(\displaystyle{ R}\) następującym wzorem:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{t_{1},t_{2},...,t_{n} \in R}F_{x}\left(t_{1},t_{2},...,t_{n} \right)= P\left[ \omega: X_{1}\left( \omega\right) \le t_{1}, X_{2}\left( \omega\right) \le t_{2}, ... , X_{n}\left( \omega\right) \le t_{n} \right]}\),
gdzie \(\displaystyle{ X\left( \omega\right)= X_{1}\left( \omega\right),X_{2}\left( \omega\right),...,X_{n}\left( \omega\right)}\)

[szw1710]

Więc jest tak jak mówiłem. Ale masz tu zmienną losową jednowymiarową, po co Ci taka kobyła? Więc jeśli tak, to zadanie ma jednoznaczne rozwiązanie jako że ta definicja i wzór na funkcję wymuszają, że \(\displaystyle{ b\cdot 0+c=0}\), a \(\displaystyle{ b\cdot 2+c=1}\). Czyli \(\displaystyle{ b=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ c\0}\).

[sta700]

A jeżeli mam również wyznaczyć dla"których następująca funkcja jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym oraz ciągłym" to jak z tym postąpic? Totalnie nie rozumiem tego zadania : (