Tw. Moiver'a Laplace'a

[pocahontas005]

Witam
prosze o pomoc:

Partia towaru ma wadliwość 5%. Ilu elementową próbę należy pobrać, aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,99}\) można było twierdzić, że ilość sztuk wadliwych w próbce jest większa niż \(\displaystyle{ 4%}\)?

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ p= \frac{95}{100}}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{5}{100}}\)
n?
\(\displaystyle{ P(X>0,04)=0,99}\)
\(\displaystyle{ P(X<0,96)=0,99}\)

\(\displaystyle{ P( \frac{x-np}{ \sqrt{npq} } < \frac{0,96-np}{ \sqrt{npq} } )=0,99}\)

\(\displaystyle{ P( Zn < \frac{0,96-n \cdot 0,95}{ \sqrt{n \cdot 0,4475} } )=0,99}\)

Bardzo prosze o pomoc w wyznaczeniu n i spr czy wsyztskie założenia są OK.
Z góry bardzo dziękuję!!

[tometomek91]

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie jedynką jeśli \(\displaystyle{ i}\)-ta sztuka jest ok i zero, jeśli wadliwa. Oznaczmy jeszcze \(\displaystyle{ S_n=X_1+...+X_n}\). Ma być \(\displaystyle{ P(S_n<96)=0,99}\) co jest równoważne temu, że
\(\displaystyle{ P \left( \frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}<\frac{9600-95n}{\sqrt{475n}} \right)=0,99}\).
Z tw. de Moivre'a-Laplace'a mamy, że musi być \(\displaystyle{ \Phi \left( \frac{9600-95n}{\sqrt{475n}} \right)=0,99}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Odczytujemy z tablic, że \(\displaystyle{ \frac{9600-95n}{\sqrt{475n}}=2,33}\) skąd \(\displaystyle{ n=95}\).