Zbieżność ciągu zmiennych losowych

[Visiativity]

Mam następujące zadanie:

Niech \(\displaystyle{ (X _{n}) _{n \in \mathbb{N}} , (Y _{n}) _{n \in \mathbb{N}}}\) oraz \(\displaystyle{ (Z _{n}) _{n \in \mathbb{N}}}\) będą ciągami zmiennych losowych z następującymi gęstościami:
(a)\(\displaystyle{ f _{X _{n} }(x) = lambda(1- frac{lambda x}{n}) ^{(n-1)} mathbf{1} _{[0, frac{n}{lambda}) }(x)}\) przy czym \(\displaystyle{ \lambda > 0}\)
(b)\(\displaystyle{ g _{Y _{n} }(x) = \frac{n+1}{n}x ^{ \frac{1}{n} }\mathbf{1} _{[0,1]}(x)}\)
(c)\(\displaystyle{ h _{Z _{n} }(x) = ne ^{-nx}mathbf{1} _{[0, infty) }}\)
Pokazać, że dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) wszystkie te ciągi są zbieżne według rozkładu i określić dla każdego z nich wartość graniczną (rozkład graniczny).

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[Zordon]

Obliczyć funkcje charakterystyczne i zbadać zbieżność punktową.
np. c)
To są zmienne o rozkładzie wykładniczym. Funkcje charakterystyczne są postaci \(\displaystyle{ \phi_n(t)=\frac{1}{1-\frac{it}{n}} \rightarrow 1}\)
Zatem mamy zbieżnośc do rozkładu jednopunktowego \(\displaystyle{ \delta_0}\)

Tutaj to nawet z definicji by się dało to pokazać, no ale technika funkcji charakterystycznych jak widać jest bardzo silna.

[Visiativity]

Dzięki za wskazówkę. Mam jednak mały problem, bo do tej pory nie mieliśmy jeszcze funkcji charakterystycznych, tak właściwie jedynie definicję słabej zbieżności. Czy mógłbyś formalnie zapisać rozwiązanie z definicji jednego z tych przykładów?

[Zordon]

Spróbuj c) to jest standardowa zabawa z \(\displaystyle{ \varepsilon, \delta}\). Wprost z definicji weź funkcję ciągła ograniczoną f i pokaż, że \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} f(x) h_{Z_n}(x)dx \rightarrow f(0)}\)