Niech \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) będą parami niezależne oraz \(\displaystyle{ X^{-} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}\). Obliczyć \(\displaystyle{ E(\frac{1}{X^{-}})}\).
Czy jest prawdą, że dla dowolnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ E(\frac{1}{X})=\frac{1}{E(X)}}\) ? Bo jeśli to jest prawda, to już sobie spokojnie poradzę. Jeśli nie to prosiłbym o pomoc.
Własność wartości oczekiwanej
-
Piotr654
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 18:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
Własność wartości oczekiwanej
To nie jest prawda, np. taka zmienna losowa \(\displaystyle{ x_1=1, x_2=2}\), o rozkładzie \(\displaystyle{ P(X=x_1)=\frac{1}{2}=P(X=x_2)}\). Wtedy \(\displaystyle{ E(\frac{1}{X})=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}}\), ale \(\displaystyle{ \frac{1}{E(X)}= \frac{1}{1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}}\).
Ale akurat w tym przypadku, to chyba trzeba podobnie to zrobić, mianowicie: jeżeli \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależne, "to ich średnia i odwrotność średniej jako funkcje ciągłe ( chyba sa ciągłe ), co za tym idzie borelowskie, także są niezależne". Wtedy z niezależności \(\displaystyle{ X^-}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{X^-}}\) , \(\displaystyle{ 1=E(X^-\cdot \frac{1}{X^-})=E(X^-)E(\frac{1}{X^-}) \Rightarrow E(\frac{1}{X^-}) = \frac{1}{E(X^-)}}\). Tylko jeszcze musisz sprawdzić w notatkach czy nie skłamałem z tym co jest w cudzysłowie, bo ja nie mam już swoich notatek . Oczywiście, przy założeniu, ze wartość oczekiwan istnieje i jest różna od zera ( nad innym rozwiązaniem się nie zastanawiałem, rozważałem tylko Twoją metodę ).
Ale akurat w tym przypadku, to chyba trzeba podobnie to zrobić, mianowicie: jeżeli \(\displaystyle{ X_1,...,X_n}\) są niezależne, "to ich średnia i odwrotność średniej jako funkcje ciągłe ( chyba sa ciągłe ), co za tym idzie borelowskie, także są niezależne". Wtedy z niezależności \(\displaystyle{ X^-}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{X^-}}\) , \(\displaystyle{ 1=E(X^-\cdot \frac{1}{X^-})=E(X^-)E(\frac{1}{X^-}) \Rightarrow E(\frac{1}{X^-}) = \frac{1}{E(X^-)}}\). Tylko jeszcze musisz sprawdzić w notatkach czy nie skłamałem z tym co jest w cudzysłowie, bo ja nie mam już swoich notatek . Oczywiście, przy założeniu, ze wartość oczekiwan istnieje i jest różna od zera ( nad innym rozwiązaniem się nie zastanawiałem, rozważałem tylko Twoją metodę ).