Funkcja gamma argumentu. Całka w statystyce

[pepa]

Witam mam problem z tym zadaniem, nie mam pojęcia w jaki sposób je rozwiązać. Początkowo myślałam, że to całka Lebesgue-Stieltjsa ale nie mam pomysłu żadnego już od tygodnia na to zadanie. Bardzo proszę o pomoc.

Funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\) argumentu p \(\displaystyle{ \in}\) R+, \(\displaystyle{ (p>0)}\) nazywamy funkcję postaci

\(\displaystyle{ \Gamma (p)}\) = \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }}\) \(\displaystyle{ x ^{p-1}}\) \(\displaystyle{ e^{-x}}\) \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)

Jaka jest wartość a) \(\displaystyle{ \Gamma ( \frac{1}{2} )}\) oraz b) \(\displaystyle{ \Gamma (n+1)}\) ???

[luka52]

a) przez odpowiednią zamianę zmiennych sprowadza się do znanej całki \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \; \dd x}\) a to jest proporcjonalne do \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}}\)
b) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) indukcyjnie można pokazać, że \(\displaystyle{ \Gamma(n+1) = n!}\).