zmienna losowa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
murfy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 3 lis 2012, o 16:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bełżyce
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 8 razy

zmienna losowa

Post autor: murfy »

Niech \(\displaystyle{ \Omega=\left\{ 1, 2, 3\right\}}\), \(\displaystyle{ F=\left( \left\{ 2\right\}, \left\{ 1,3\right\}, \Omega \right)}\), przy czym wiadomo, że \(\displaystyle{ P\left\{ i\right\} = \frac{1}{3}}\), \(\displaystyle{ i=1,2,3}\). Czy \(\displaystyle{ \mathbb{X}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ \mathbb{X}\left( \omega\right)=\omega}\), \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \left( \Omega, F, P\right)}\)?

Proszę o pomoc.
szw1710

zmienna losowa

Post autor: szw1710 »

Coś tu nie pasuje w tym opisie. Prawdopodobieństwo to miara na sigma-ciele, a więc na zbiorach mierzalnych. Skoro singletony \(\displaystyle{ \{1\}}\) i \(\displaystyle{ \{3\}}\) nie należą do \(\displaystyle{ F}\), to nie można na nich określać prawdopodobieństwa. Rozumiem to potocznie - po prostu chodzi o to, że \(\displaystyle{ P(\{2,3\}=\frac{2}{3}}\).

Funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) nie jest zmienną losową, bo nie jest funkcją \(\displaystyle{ F-}\) mierzalną. Np. dlatego, że \(\displaystyle{ \{\omega:\mathbb{X}(\omega\}<3\}=\{1,2\}\not\in F,}\) więc nie jest zdarzeniem.
murfy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 3 lis 2012, o 16:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bełżyce
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 8 razy

zmienna losowa

Post autor: murfy »

W pierwotnej wersji było \(\displaystyle{ F=\left( \Omega, \left\{ 2\right\}, \left\{ 1,3\right\}, \Omega \right)}\). Prawdopodobnie powinno byc \(\displaystyle{ F=\left( \emptyset, \left\{ 2\right\}, \left\{ 1,3\right\}, \Omega \right)}\), bo \(\displaystyle{ \emptyset}\) musi należeć do F, żeby to było \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało.

Zatem jeżeli chcę narysować wykres i rozpatrywać konkretne przypadki (m.in. ten który został przytoczony) to tym wykresem będą po prostu 3 punkty?
ODPOWIEDZ