zmienna losowa typu ciągłego

[Studentka1992]

Mam takie zadanie:

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) typu ciągłego

\(\displaystyle{ F\left( x\right)= \begin{cases} 0\ &\text{dla}\ x \le 0 \\ \sin x\ &\text{dla}\ x \in (0,\frac{\pi}{2}\rangle \\ 1\ &\text{dla}\ x>\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)

Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) zmiennej \(\displaystyle{ X}\)

Czy moje rozwiązanie jest poprawne:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases}\cos x\ &\text{dla}\ x \in(0,\frac{\pi}{2}\rangle \\ 0\ &\text{poza przedziałem} \end{cases}}\)


I drugie pytanie:

Czy dla funkcji gęstości \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \begin{cases}0\ &\text{gdy}\ x \le 0 \\ 3 e^{-3x}\ &\text{gdy}\ x>0 \end{cases}}\)

wartość oczekiwana liczona ze wzoru: \(\displaystyle{ EX=\int\limits_{- \infty }^{+ \infty }xf\left( x\right) \mbox{d}x}\) jest równa w tym przypadku \(\displaystyle{ 0}\), i tak samo wariancja jest równa \(\displaystyle{ 0}\)?

[szw1710]

1. OK
2. Scałkuj przez części.

[Studentka1992]

Scałkowałam przez części. Umiem liczyć całki. Pytam o poprawność wyniku

[szw1710]

Oj, nie naburmuszaj się tak... Wynik można zawsze sprawdzić choćby na Maximie. Ale ja też umiem całkować , nie tylko na Maximie

Kod do Maximy:

Kod: Zaznacz cały

m:integrate(x*3*%e^(-3*x),x,0,inf);
integrate((x-m)^2*3*%e^(-3*x),x,0,inf);

Pierwsze to wartość oczekiwana, drugie - wariancja (\(\displaystyle{ D^2X=E[(X-EX)^2]}\).

[Studentka1992]

Nie mam zielonego pojęcia o co chodzi z tą Maximą. Więc wdzięczna byłabym za podanie wyników

[szw1710]

Maxima to świetny porgram typu CAS. Zrobiłem na nim m. in. wiele swoich badań naukowych. Zobacz i zainstaluj sobie - polecam. Przede wszystkim zainstaluj graficzny interfejs wxMaxima, gdzie wszystko wyklikasz bez potrzeby znajomości takich dziwnych komend.

Odpowiedzi: \(\displaystyle{ EX=\frac{1}{3}}\), \(\displaystyle{ D^2X=\frac{1}{9}}\), o ile dobrze funkcje wpisałem. Całkować ręcznie oczywiście nie będę - wystarczy, że to zrobię na swoich ćwiczeniach

[Studentka1992]

Dziękuję, muszę więc zweryfikować swoje obliczenia