Wykorzystując metodę funkcji charakterystycznych rozwiąż następujące zadanie.
Jeżeli \(\displaystyle{ X_i, \ i = 1, 2, \ldots , n}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\)to rozkład zmiennej losowej (statystyki) \(\displaystyle{ Y_n = X_1 + \ldots + X_n}\),
jest : ?
proszę o pomoc jeśli ktoś może mi to krok po kroku wytłumaczyć
rozkład Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 31 paź 2012, o 13:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 6 razy
rozkład Poissona
Ostatnio zmieniony 6 gru 2012, o 21:03 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
rozkład Poissona
Znajdziemy funkcję charakterystyczną zmiennej \(\displaystyle{ Y_n}\) - ona wyznacza przecież rozkład jednoznacznie. Mamy z definicji i niezależności \(\displaystyle{ X_i}\):
\(\displaystyle{ Ee^{itY_n}=E \prod_{i=1}^{n} e^{itX_i}= \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}}\)
a jak wiemy, f. ch. zmiennej z rozkładu Poissona to \(\displaystyle{ \exp \left( \lambda(e^{it}-1) \right)}\), więc
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}=\exp \left( n \lambda(e^{it}-1) \right)}\) czyli jest to f. ch. zmiennej z rozkładu \(\displaystyle{ Poiss(n \lambda)}\).
\(\displaystyle{ Ee^{itY_n}=E \prod_{i=1}^{n} e^{itX_i}= \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}}\)
a jak wiemy, f. ch. zmiennej z rozkładu Poissona to \(\displaystyle{ \exp \left( \lambda(e^{it}-1) \right)}\), więc
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}=\exp \left( n \lambda(e^{it}-1) \right)}\) czyli jest to f. ch. zmiennej z rozkładu \(\displaystyle{ Poiss(n \lambda)}\).