rozkład Poissona

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
asiunia11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 31 paź 2012, o 13:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 6 razy

rozkład Poissona

Post autor: asiunia11 »

Wykorzystując metodę funkcji charakterystycznych rozwiąż następujące zadanie.
Jeżeli \(\displaystyle{ X_i, \ i = 1, 2, \ldots , n}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\)to rozkład zmiennej losowej (statystyki) \(\displaystyle{ Y_n = X_1 + \ldots + X_n}\),
jest : ?
proszę o pomoc jeśli ktoś może mi to krok po kroku wytłumaczyć
Ostatnio zmieniony 6 gru 2012, o 21:03 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

rozkład Poissona

Post autor: tometomek91 »

Znajdziemy funkcję charakterystyczną zmiennej \(\displaystyle{ Y_n}\) - ona wyznacza przecież rozkład jednoznacznie. Mamy z definicji i niezależności \(\displaystyle{ X_i}\):
\(\displaystyle{ Ee^{itY_n}=E \prod_{i=1}^{n} e^{itX_i}= \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}}\)
a jak wiemy, f. ch. zmiennej z rozkładu Poissona to \(\displaystyle{ \exp \left( \lambda(e^{it}-1) \right)}\), więc
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}Ee^{itX_i}=\exp \left( n \lambda(e^{it}-1) \right)}\) czyli jest to f. ch. zmiennej z rozkładu \(\displaystyle{ Poiss(n \lambda)}\).
ODPOWIEDZ