Mam następujące zadanie:
Niech \(\displaystyle{ (X _{n}) _{n \in \mathbb{N}}}\) będzie ciągiem zmiennych losowych. Pokazać, że ciąg ten zbiega stochastycznie do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbb{E}( \frac{|X _{n} |}{1+|X _{n}| }) = 0}\)
Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Zbieżność ciągu zmiennych losowych
-
Visiativity
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 paź 2012, o 17:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Heidelberg
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Zbieżność ciągu zmiennych losowych
Co rozumiesz przez zbieganie stochastyczne? (podaj definicję)
Edit:
Wyguglałem, że chodzi chyba o zbieżność wg prawdopodobieństwa.
No to dowodzimy:
1. Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{n} \xrightarrow{P} 0}\), tzn.
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \quad \lim_{n \to \infty}P(|X_{n}|>\varepsilon ) =0}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right)=
\int_{\Omega}\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P =
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P +\int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \le \\ \\ \le
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon \right\} }1 \ \mbox{d} P + \int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\varepsilon \ \mbox{d}P \le P(|X_{n}|>\varepsilon ) + \varepsilon \mathop{\longrightarrow}_{n \to \infty} \varepsilon}\)
Z dowolności \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mamy to co chcemy.
2. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right)=0}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ 0 \mathop{\longleftarrow}_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right) = \int_{\Omega}\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P = \\ \\ \\ =
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P +\int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \ge \int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \ge \\ \\ \\ \ge
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\ \mbox{d}P = \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} P (|X_{n}|>\varepsilon )}\)
Edit:
Wyguglałem, że chodzi chyba o zbieżność wg prawdopodobieństwa.
No to dowodzimy:
1. Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{n} \xrightarrow{P} 0}\), tzn.
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \quad \lim_{n \to \infty}P(|X_{n}|>\varepsilon ) =0}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right)=
\int_{\Omega}\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P =
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P +\int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \le \\ \\ \le
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon \right\} }1 \ \mbox{d} P + \int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\varepsilon \ \mbox{d}P \le P(|X_{n}|>\varepsilon ) + \varepsilon \mathop{\longrightarrow}_{n \to \infty} \varepsilon}\)
Z dowolności \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mamy to co chcemy.
2. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right)=0}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ 0 \mathop{\longleftarrow}_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|} \right) = \int_{\Omega}\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P = \\ \\ \\ =
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P +\int_{\left\{ |X_{n}| \le \varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \ge \int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{|X_{n}|}{1+|X_{n}|}\ \mbox{d}P \ge \\ \\ \\ \ge
\int_{\left\{ |X_{n}|>\varepsilon\right\} }\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\ \mbox{d}P = \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon} P (|X_{n}|>\varepsilon )}\)