Cześć.
Mam mały problem z kilkoma zadaniami:
1. Przez N oznaczmy zmienną losową określającą ilość detali wyprodukowanych w jednym dniu na linii produkcyjnej. Zakładamy, że N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Każdy detal niezależnie od pozostałych z prawdopodobieństwem p odpowiada przyjętym normom jakości. Oznaczmy przez Y zmienną losową określającą ilość wyprodukowanych w tym dniu detali, które odpowiadają przyjętym normom jakości. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.
2. Centrala telefoniczna obsługuje 100 abonentów. Każdy z abonentów może z prawdopodobieństwem 0.1, niezależnie od pozostałych, zamówić połączenie zewnętrzne. Jaka powinna być minimalna ilość połączeń zewnętrznych w tej centrali, aby z prawdopodobieństwem 0.9 zostały zrealizowane wszystkie zamówienia abonentów? Podać rozwiązanie dokładne i przybliżone.
Rachunek prawdopodobieństwa
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Rachunek prawdopodobieństwa
1.Twoje zadanie odpowiada zdarzeniu dwuetapowemu. Najpierw losujemy z jakim prawdopodobieństwem wylosowanych jest N detali .Jest ich
\(\displaystyle{ P \left( X=N \right) = \frac{\lambda^{N}}{N!}e^{-\lambda}}\).
Teraz\(\displaystyle{ P \left( Y=k|X=N \right) =p^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} {N \choose k}}\)
Powinno wyjść \(\displaystyle{ P \left( Y=k|X=N \right) = \left( \lambda \cdot p \right) ^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} \cdot \frac{e^{-k}{k! \left( N-k \right) !}}\)
Teraz trzeba posumować po \(\displaystyle{ N}\),bo nasze zdarzenie jest równoważne,że zaszło conajmniej dedno z zearzeń typu: Wylosowało się \(\displaystyle{ k}\) akceptowalnych detali i ogólnie N.
\(\displaystyle{ \sum_{N=1}^{\infty} \left( \lambda \cdot p \right) ^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} \cdot \frac{e^{-\lambda}{k! \left( N-k \right) !}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{\lambda \cdot p}{ \left( 1-p \right) } \right) ^{k} \cdot \frac {\e^{-\lambda}}k! \sum_{N=k}^{\infty} \left( 1-p \right) ^{N} \cdot \left( N-k \right) !}\).Kojarzysz funkcje tworzące?
\(\displaystyle{ P \left( X=N \right) = \frac{\lambda^{N}}{N!}e^{-\lambda}}\).
Teraz\(\displaystyle{ P \left( Y=k|X=N \right) =p^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} {N \choose k}}\)
Powinno wyjść \(\displaystyle{ P \left( Y=k|X=N \right) = \left( \lambda \cdot p \right) ^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} \cdot \frac{e^{-k}{k! \left( N-k \right) !}}\)
Teraz trzeba posumować po \(\displaystyle{ N}\),bo nasze zdarzenie jest równoważne,że zaszło conajmniej dedno z zearzeń typu: Wylosowało się \(\displaystyle{ k}\) akceptowalnych detali i ogólnie N.
\(\displaystyle{ \sum_{N=1}^{\infty} \left( \lambda \cdot p \right) ^{k} \left( 1-p \right) ^{N-k} \cdot \frac{e^{-\lambda}{k! \left( N-k \right) !}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{\lambda \cdot p}{ \left( 1-p \right) } \right) ^{k} \cdot \frac {\e^{-\lambda}}k! \sum_{N=k}^{\infty} \left( 1-p \right) ^{N} \cdot \left( N-k \right) !}\).Kojarzysz funkcje tworzące?