Znaleźć prawdopodobieństwo gdy dana jest gęstość

[Paylinka07]

Witam, mam problem z tym zadaniem. Nie wiem od czego zacząć

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego jest następująca :
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{2}{ \pi } \cosx ,\qquad\qquad gdy \qquad x \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)\\ 0,\qquad\qquad dla\qquad pozostałych\qquad x \end{cases}}\)

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w \(\displaystyle{ 3}\) niezależnych doświadczeniach zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmie dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) razy wartość należącą do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\)

[tometomek91]

To nie jest gęstość - nie całkuje się do jedynki.
Gdyby tam było (wiesz gdzie, no tam) \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\), to mięlibyśmy tak:
za sukces uznajemy, że zmienna będzie należeć do \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\), czyli prawdopodobieństwo tego sukcesu to \(\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\pi} dx=\frac{1}{4}}\).
Mają zajść dwa sukcesy i porażka, więc prawdopodbieństwo tego zdarzenia to
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} \left( \frac{1}{4} \right)^{2} \left( \frac{3}{4} \right)^{3-2}=\frac{9}{64}}\) - shcemat Bernoulliego.

[Paylinka07]

Wkradł się błąd, powinno być tak

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego jest następująca :
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{2}{ \pi } \cdot \ cos^{2}x ,\qquad\qquad gdy \qquad x \in \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)\\ 0,\qquad\qquad dla\qquad pozostałych\qquad x \end{cases}}\)

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w \(\displaystyle{ 3}\) niezależnych doświadczeniach zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmie dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) razy wartość należącą do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\)

[tometomek91]

W takim razie mamy tak:
za sukces uznajemy, że zmienna będzie należeć do \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\), czyli prawdopodobieństwo tego sukcesu to \(\displaystyle{ p=\int_0^{\frac{\pi}{4}} F(x) dx}\).
Mają zajść dwa sukcesy i porażka, więc prawdopodbieństwo tego zdarzenia to
\(\displaystyle{ {3 \choose 2} \left( p \right)^{2} \left( 1-p \right)^{3-2}}\) - shcemat Bernoulliego.

I wystarczy policzyć \(\displaystyle{ p}\)

[Studentka1992]

Czy \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{4}}\) ?