Udowodnij niezależność zmiennych

[Drzewo18]

Zmienne losowe X i Y są niezależne, obie mają rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Udowodnij, że zmienne \(\displaystyle{ U=X+Y}\) oraz \(\displaystyle{ V=X-Y}\) są także niezależne.

Wiem, że \(\displaystyle{ EX=EY=0}\) i \(\displaystyle{ VarX=VarY=1}\). Po rozpisaniu kowariancji wychodzi \(\displaystyle{ Cov(U,V)=0}\):
\(\displaystyle{ Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)=VarX-VarY=1-1=0}\)
Tylko czy to wystarczy?
Bo przecież zmienne są niezależne jak \(\displaystyle{ f(x_1x_2...x_n)=f(x_1)f(x_2)...f(x_n)}\) tylko skąd mam tu jakąś funkcję wytrzasnąć?

[Adifek]

To, ze współczynnik korelacji jest zerem nie oznacza, że zmienne są niezależne. Skoro chcesz to robić na gęstościach, to ok - wówczas, ponieważ \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, więc niezależne są też zmienne \(\displaystyle{ X,-Y}\), więc gęstości ich sum są zadane splotami. No to tutaj już coś wiemy. Pozostaje jakoś wyznaczyć rozkład łączny

[Drzewo18]

No to pewnie trzeba skorzystać z tego: \(\displaystyle{ g(z)=f_x* f_y =\int_{-\infty}^{\infty} f_x(z-y) f_y(y) dy}\), tylko że jak funkcja gęstości jest taka jak tu:
... d_normalny
to chyba tak łatwo nie będzie
Nie da się tego jakoś inaczej sprawdzić?