prawdopodobieństwo warunkowe - zadania z rachunku

[tpsa]

Mam parę zadań z rachunku prawdopodobieństwa z którymi się już dość długi czas męczę.

Zadanie nr. 1
1. Moneta znajduje sic w jednym z n pudelek. Prawdopodobieństwo, Ze moneta jest w i-tym pudelku
Wynosi \(\displaystyle{ p_i, i = 1, . . . ,n}\). Jeśli moneta jest w pudelku o numerze i, to prawdopodobieństwo znalezienia
jej w tym pudelku wynosi \(\displaystyle{ a_i}\),. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że moneta jest w pudełku o numerze j, jeśli nie została znaleziona w pudelku o numerze i.

tu próbowałem zrobić z twierdzenia Bayes'a, ale w jaki sposób obliczyć \(\displaystyle{ P(B_j|A_i)}\) jeżeli \(\displaystyle{ i \neq j}\) ?
Dla i = j jest podane, ale dla innych już nie. Podobnie jak można wyliczyć \(\displaystyle{ P(B_j \cap A_i)}\) gdzie
\(\displaystyle{ A_i}\) - to zdarzenie pod w i-tym pudełku znajduje się moneta,1
\(\displaystyle{ B_j}\) - znaleziono monetę w i-tym pudełku

Zadanie nr 2.
W urnie jest 3n kul. n białych i 2n czarnych, Wyjmujemy i odkładamy na bok n kul Następnie
losujemy kolejne n. Wiedząc, że wszystkie kule wylosowane za drugim razem są czarne, obliczyć prawdopodobieństwo. że wcześniej wyjęto dokładnie k białych kul, \(\displaystyle{ k = 0,1,...,n}\)

Tu próbowałem z prawdopodobieństwa całkowitego liczyć, ale masakryczne, skomplikowane wzory wychodziły mi

[kolegasafeta]

Jeżeli chodzi o pierwsze zadanie:

\(\displaystyle{ P(A_j |B_i')=P(A_i|B_i') \cdot 0+P(A_i'|B_i')\cdot P((A_j|A_i')|B_i')=P(A_i'|B_i') \cdot P(A_j|A_i')}\)

Dalej mamy
\(\displaystyle{ P(A_i'|B_i')=\frac{P(A_i' \cap B_i')}{P(B_i')}=\frac{P(A_i')}{P(B_i')}}\),
\(\displaystyle{ P(B_i')=P(A_i')\cdot 1+P(A_i)(1-a_i)=1-p_i+p_i(1-a_i)}\),
\(\displaystyle{ P(A_j|A_i')=\frac{P(A_j \cap A_i')}{P(A_i')}=\frac{P(A_j)}{P(A_i')}=\frac{p_j}{1-p_i}}\).

I już wszystko mamy. Mam nadzieję, że nie ma błędów, robiłem to dość szybko. Używany jest na zmianę wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.