potrzebuje informacji na temat zastosowania calki Lebesgue-Stieltjsa w rachunku prawdopodobienstwa, musze przygotowac prezentacje na temat tej calki i niestety nie moge znalezc zastosowania...
z gory dziekuje za pomoc
całka Lebesgue-Stieltjsa
-
kaska-p-1991
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 09:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: gdańsk
-
szw1710
całka Lebesgue-Stieltjsa
Jeśli \(\displaystyle{ F(x)}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ P\bigl((-\infty,x)\bigr)=F(x)}\) generuje miarę. Mamy wtedy np.
\(\displaystyle{ EX=\int_{\RR}x\dd F(x)}\).
Można tę całkę traktować jak całkę Lebesgue'a-Stieltjesa, jeśli miara będzie inna niż miara Lebesgue'a czy też zmienna nie będzie ciągła.
W przypadku, gdy mamy zmienną losową ciągłą o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\dd x}\). Ale gdy mamy dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x)}\) takiej zmiennej, to \(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\). Wtedy \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\dd F(x)}\) i jest to całka Riemanna-Stieltjesa.
Całka R-S jest całką względem pewnej miary "generowanej" przez miarę Lebesgue'a, tj. \(\displaystyle{ \dd g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest np. funkcją o wahaniu skończonym. W całce L-S mogą wystąpić bardziej abstrakcyjne miary.
\(\displaystyle{ EX=\int_{\RR}x\dd F(x)}\).
Można tę całkę traktować jak całkę Lebesgue'a-Stieltjesa, jeśli miara będzie inna niż miara Lebesgue'a czy też zmienna nie będzie ciągła.
W przypadku, gdy mamy zmienną losową ciągłą o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\dd x}\). Ale gdy mamy dystrybuantę \(\displaystyle{ F(x)}\) takiej zmiennej, to \(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\). Wtedy \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty} x\dd F(x)}\) i jest to całka Riemanna-Stieltjesa.
Całka R-S jest całką względem pewnej miary "generowanej" przez miarę Lebesgue'a, tj. \(\displaystyle{ \dd g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest np. funkcją o wahaniu skończonym. W całce L-S mogą wystąpić bardziej abstrakcyjne miary.