Zmienne losowe (X,Y) mają rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)=Ae^{-x^2-2xy-2y^2}}\). Znaleźć rozkład wektora (U,V)=(X,X+Y). Na tej podstawie wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X+Y jako rozkład brzegowy wektora (U,V).
Najpierw wyznaczyłem stałą A:
- macierz odwrotna do macierzy kowariancji to \(\displaystyle{ L=\begin{bmatrix}2&2\\2&4\end{bmatrix}}\)
- macierz kowariancji to \(\displaystyle{ K= \frac{1}{det L}\begin{bmatrix}4&-2\\-2&2\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}1&-1/2\\-1\2&1\2\end{bmatrix}}\)
- z tego można odczytać, że \(\displaystyle{ Var X=1, Cov(X,Y)=-\frac{1}{2}, Var Y=\frac{1}{2}}\)
- stała \(\displaystyle{ A= \frac{\sqrt{det L}}{2\pi}=\frac{1}{\pi}}\)
Potem zabieram się za rozkład wektora (U,V)
\(\displaystyle{ Var U=Var X=1 \\ Var V=Cov(X+Y,X+Y)=Var X +2Cov(X,Y)+Var Y=\frac{1}{2} \\ Cov(U,V)=Var X+Cov(X,Y)=\frac{1}{2}}\)
Macierz kowariancji \(\displaystyle{ K_1=\begin{bmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{bmatrix}}\), a odwrotna do niej \(\displaystyle{ L_1=\begin{bmatrix}2&-2\\-2&4\end{bmatrix}}\)
czyli we wzorze na gęstość będzie występowało \(\displaystyle{ exp(-\frac{1}{2}(2x^2-4xy+4y^2))}\), ale jeszcze muszę pomnożyć to przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{det L_1}}{2\pi}}\)
I teraz nie jestem pewien, bo w notatkach mam napisane, że mnożymy to przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\), ale nie rozumiem dlaczego. Nie powinno być \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{24}}{2\pi}}\), bo \(\displaystyle{ det L_1=24}\)?
Ostatniej części zadania nie rozumiem w ogóle, nie zrobiliśmy tego na ćwiczeniach. Byłbym wdzięczny za wskazówkę.