Uzasadnij, że wektor losowy (X,Y) o rozkładzie normalnym ma funkcję gęstości zadaną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}exp \left{ - \frac{1}{2(1-\rho^2)}( \frac{(x-m_x)^2}{\sigma_x^2}-2\rho \frac{(x-m_x)(y-m_y)}{\sigma_x\sigma_y}+ \frac{(y-m_y)^2}{\sigma_y^2} ) \right}}\)
Rozumiem, że trzeba z tego kosmicznego wzoru odczytać wzór macierzy kowariancji, no to mam \(\displaystyle{ \sqrt{det L}= \frac{1}{\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}}\), a później mam zapisane, że:
\(\displaystyle{ L_{11}= \frac{1}{\sigma_x^2\sqrt{1-\rho^2}} \\
L_{22}= \frac{1}{\sigma_y^2\sqrt{1-\rho^2}} \\
L_{12}=L_{21}= \frac{-\rho}{\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}}\)
I teraz mam pytanie, co się stało z tymi \(\displaystyle{ (x-m_x)^2, (x-m_x)(y-m_y),(y-m_y)^2}\)? Czemu to nie występuje w tych współczynnikach macierzy?