Liczba wyslosowanych kul - wartość oczekiwana i odchylenie

[Aldo]

Witajcie. Mam takie zadanie:

W urnie jest 5 kul czerwonych i 5 zielonych. Wybieramy losowo cztery kule (bez zwracania). Znajdź rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, która podaje liczbę wylosowanych kul czerwonych. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe liczby wylosowanych kul czerwonych.

I tutaj mam nie tyle problem z policzeniem, co ze zrozumieniem głównej treści i stworzeniu rozkładu tego prawdopodobieństwa. Skoro losujemy bez zwracania to za pierwszym razem mamy 10 kul, za drugim 9, za trzecim 8, a za czwartym 7. To ile będzie wynosiło prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w każdym z kroków? Myślałem, że
\(\displaystyle{ k=1 \rightarrow \frac{1}{10} \\k=2 \rightarrow \frac{1}{9} \\k=3 \rightarrow \frac{1}{8} \\k=4 \rightarrow \frac{1}{7}}\)
Gdzie k to kolejne losowanie. Ale suma tych prawdopodobieństw nie daje 1. Myślałem też, że może być tak:
\(\displaystyle{ k=1 \rightarrow \frac{1}{10} \\k=2 \rightarrow \frac{2}{10} \\k=3 \rightarrow \frac{3}{10} \\k=4 \rightarrow \frac{4}{10}}\)
Tu wprawdzie wychodzi 1, ale nie pasuje to za bardzo, bo miało być losowanie bez zwracania.

Jak będzie wyglądał rozkład tego prawdopodobieństwa? Dzięki za pomoc i wskazówki.

[tometomek91]

Jeszcze można zero kul czerwonych wylosować skorzystaj z rozkładu Bernoulliego.

[lukaszm89]

Losujemy bez zwracania, nie widzę jak można tu uzyskać rozkład Bernoulliego.
Rozkład jest hipergeometryczny-podaję nazwę, żebyś mógł sprawidzić potem \(\displaystyle{ EX}\) i wariancję.
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{ {5 \choose k} {5 \choose 4-k} }{ {10 \choose 4} }\quad k=0,\ldots,4}\).
Wybierasz czerwone na \(\displaystyle{ {5 \choose k}}\) sposobów, zielone na \(\displaystyle{ {5 \choose 4-k}}\) sposobów, spośród \(\displaystyle{ {10 \choose 4}}\) sposobów na wybranie 4 kul z 10

[janusz47]

Musimy odpowiedzieć sobie na pytanie na czym polega dświadczenie losowe D?
- zbudować model doświadczenia D;
\(\displaystyle{ ( \Omega , 2^{\Omega), P )}\)
- określić zmienną losową: \(\displaystyle{ X: \Omega \rightarrow R}\)
- okreslić jej rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ ( x_{n}, p_{n}).}\)
Wskazówka:
\(\displaystyle{ P({X = n})= p_{n}= \frac{{5 \choose n}{5\choose 4- n}}{{10\choose 4}}, n =0,1,2,3,4}\)
rozkład hipergeometryczny.
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=0}^{4}x_{n}p_{n}.}\)
\(\displaystyle{ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)}}\)
\(\displaystyle{ Var(X) = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{4}( E(X) - x_{n})^2\cdot p_{n}}\)

Rozkład Bernoulliego nie wchodzi w rachubę, bo mamy losowanie kul bez zwracania.

[Aldo]

Fakt, można wylosować 0 kul czerwonych - tego nie wziąłem pod uwagę. Szczerze to pierwszy raz słyszę o rozkładzie hipergeometrycznym i nie za bardzo to rozumiem. Wyszło mi rzeczywiście
\(\displaystyle{ k=0 \rightarrow \frac{5}{210} \\k=1 \rightarrow \frac{50}{210} \\k=2 \rightarrow \frac{100}{210} \\k=3 \rightarrow \frac{50}{210} \\k=4 \rightarrow \frac{5}{210}}\)

I suma prawdopodobieństw rzeczywiście wynosi 1.
Pozostałe wyniki to:
\(\displaystyle{ E(x)= \frac{420}{210} = 2 \\D^2(x)= 0,9 \\D(x)=0,948}\)

Nie wiem jednak dlaczego i skąd jest ten wzór. Dlaczego
\(\displaystyle{ {10 \choose 4}}\)
to sposób na wybranie 4 kul z dziesięciu. To coś na wzór wyboru (wypisania) wszystkich możliwych kombinacji 4-elementowych ze zbioru 10 kul (5 czerwonych + 5 zielonych)? Skąd wzięło się
\(\displaystyle{ {5 \choose 4-k}}\)
Dlaczego jest \(\displaystyle{ 4-k}\)?

Dzięki za pomoc. Jednak jeżeli kto mógłby wyjaśnij te drobne wątpliwości byłbym wdzięczny.

[lukaszm89]

W mianowniku masz wszystkie możliwości wyboru kul-tutaj przyjmujemy że są rozróżnialne!. Zatem z 10-elemetowego zbioru możesz wybrać 4 kule właśnie na \(\displaystyle{ {10 \choose 4}}\) sposobów. Czerwonych chcesz wybrać k z 5-robi się to na {5 choose k} sposobów. Z pozostałych zielonych musisz wylosowac 4-k, stąd ostatni dwumian w liczniku. Mam nadzieję że coś się wyjaśniło?

[Aldo]

Tak troszkę więcej, jednak przeanalizuje to jeszcze raz to łatwiej się zrozumie. Dzęeki za pomoc.