Znaleźć rozkład i dystrybuantę

[Paylinka07]

W doświadczeniu polegającym na trzykrotnym rzucie monetą zmienna losowa ma wartość równą liczbie uzyskanych reszek. Wykazać, że jest to zmienna losowa. Znaleźć jej rozkład i dystrybuantę.

[miodzio1988]

Jakie mamy tutaj możliwości i pstwa tych możliwości?

[Paylinka07]

Możliwości mamy \(\displaystyle{ (ooo) (oor)(oro)(roo)(rro)(ror)(orr)(rrr)}\),
a prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\)

[miodzio1988]

Nie.

zmienna losowa ma wartość równą liczbie uzyskanych reszek.

[Paylinka07]

To w zależności ile reszek mamy w danym rzucie, czyli
\(\displaystyle{ (o,o,o)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{1} = 0}\)
\(\displaystyle{ (o,o,r)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{2} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ (o,r,o)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{3} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ (r,o,o)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{4} = \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ (r,r,o)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{5} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ (r,o,r)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{6} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ (o,r,r)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{7} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ (r,r,r)}\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P_{8} = 1}\)

[miodzio1988]

Pstwo jeden wychodzi gdy trafiamy trzy reszki? Przecież bez sensu to jest

[AsiR]

Rozkład to przedstawienie wszystkich możliwych wariantów i ich prawdopodobieństwa, czyli w tym przypadku
\(\displaystyle{ X~(x _{i}, p _{i})}\) gdzie \(\displaystyle{ x _{i}}\) to liczba uzyskanych reszek a \(\displaystyle{ p _{i}}\) to prawdopodobieństwo wystąpienia takiej liczby reszek.
suma \(\displaystyle{ p _{i}}\) musi dawać 1
Przy rzucie sześciennym kością gdzie mamy wypisać rozkład względem liczby oczek będzie to wyglądało tak:
\(\displaystyle{ X~(1, \frac{1}{6} ), (2, \frac{1}{6} ), (3, \frac{1}{6} ), (4, \frac{1}{6} ), (5, \frac{1}{6} ) , (6, \frac{1}{6} )}\)

[Paylinka07]

A dystrybuanta będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ P\left[\omega : X(\omega) \le t \right]}\)

\(\displaystyle{ 1. t \in (- \infty , 0]}\)
\(\displaystyle{ { \left\{ \omega : X(\omega) < t \right\}} = {\emptyset}}\)

\(\displaystyle{ 2. t \in (0 , 1]}\)
\(\displaystyle{ { \left\{ \omega : X(\omega) < t \right\}} = {\left\{ (ooo)\right\} }}\)

\(\displaystyle{ 3. t \in (1, 2]}\)
\(\displaystyle{ { \left\{ \omega : X(\omega) < t \right\}} = {\left\{ (ooo), (roo), (oro),(oor)\right\} }}\)

\(\displaystyle{ 4. t \in (2 , 3]}\)
\(\displaystyle{ { \left\{ \omega : X(\omega) < t \right\}} = {\left\{ (ooo), (roo), (oro), (oor), (orr), (ror), (rro)\right\} }}\)

\(\displaystyle{ 5. t \in (3 ,+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ { \left\{ \omega : X(\omega) < t \right\}} = \Omega}\)

\(\displaystyle{ \forall t_{1}, t_{2}... t_{5} \in R \qquad F_{x} (t_{1}, t_{2}.... t_{5}) = P \left[ \omega: X_{1} (\omega) \le t_{1}, X_{2}(\omega) \le t_{2}... X_{5} \le t_{5}\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ X(\omega) = (X_{1}(\omega),X_{2}(\omega) ... X_{5}(\omega))}\)

[AsiR]

Tak, tylko zamiast symbolu zbioru pustego, omegi i poszczególnych przypadków powinnaś dać "suchą" liczbę czyli np. zamiast omegi 1 zamiast "przekreślonego zero" 0. Do tego zbiory powinny być lewostronnie domknięte czyli zamiast \(\displaystyle{ (0;1]}\) powinno być \(\displaystyle{ [0;1)}\)