Dystrybuanta i prawdopodobieństwo

[pawellogrd]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F_X(x)= \begin{cases} e^{-x}^2 \mbox{ dla } x<0 \\ 1 \mbox{ dla } x \ge 0 \end{cases}}\)

Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(-e<Y<e)}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) danej wzorem \(\displaystyle{ Y=e^{-X}}\)

Mam wąpliwość czy da się je w ogóle obliczyć, ponieważ dystrybuanta \(\displaystyle{ F_Y(y)}\) będzie wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y<y) = P(e^{-X}<y) = P(-X<\ln(y))=P(X>-\ln(y)) = 1-P(X \le -\ln(y)) = 1 - F_X (-ln(y)) = \begin{cases} 1-e^{-\ln^2(y)} \mbox{ dla} -\ln(y)<0 \Rightarrow y>1 \\ 0 \mbox{ dla} -\ln(y) \ge 0 \Rightarrow y \in (0,1] \end{cases}}\)

Zatem wygląda na to, że dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jest określona tylko dla \(\displaystyle{ y>0}\). W jaki sposób mam więc wyznaczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(-e<Y<e) = F_Y(e) - F_Y(-e)}\)? Dziwi mnie fakt, że dysytrybuanta miałaby być tylko dla dodatnich argumentów, ponieważ z jej własności wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{y \to -\infty} F_Y(y) = 0}\). Czy mam więc przyjąć, że dla argumentów \(\displaystyle{ y \le 0}\) dystybuanta ma wartość \(\displaystyle{ 0}\)?

Dziękuję za wszelkie podpowiedzi.

EDIT (16.11, 23:58): Zjadłem przedtem minusa w potędze.

[tometomek91]

Zmienna\(\displaystyle{ Y}\) jest dodatnia, ponadto z monotoniczności funkcji wykładniczej mamy:
\(\displaystyle{ P(-e<Y<e)=P(e^{-X}<e)=P(-X<1)=P(X>-1)=\\
1-P(X \le -1)=1-F_X(-1)=1-\frac{1}{e}}\)

[pawellogrd]

Dzięki wielkie.

Ale czy to oznacza, że dystrybuanta, którą wyznaczyłem jest niepoprawna? W jaki sposób ją wyznaczyć? Pytam, bo chciałbym tez ją wyznaczyć i funkcję gęstości zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), którą mógłbym łatwo wyznaczyć mając dystrybuantę. Chociaż \(\displaystyle{ P(-e<Y<e) = P(Y<e) = F_Y(y)}\), co z mojego wzoru na dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y}\) daje: \(\displaystyle{ F_Y(y) = 1-e^{-\ln^2(e)} = 1 - e^{-1} = 1-\frac{1}{e}}\), co się zgadza z tym, co podałeś. Jednak martwi mnie ten brak dystrybuanty dla \(\displaystyle{ y \le 0}\)

[tometomek91]

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości tylko ujemne, więc \(\displaystyle{ Y}\) ma wartości większe od \(\displaystyle{ 1}\). Dla \(\displaystyle{ y>1}\) mamy to co napisałeś (dla \(\displaystyle{ y \le 1}\) jest oczywiście zero):
\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y<y) = P(e^{-X}<y) = P(-X<\ln(y))=P(X>-\ln(y)) = 1-P(X \le -\ln(y)) = 1 - F_X (-ln(y))}\)
i skoro \(\displaystyle{ y>1}\), to \(\displaystyle{ -\ln(y)<0}\), czyli
\(\displaystyle{ 1 - F_X (-ln(y))=1-e^{-(\ln y)^2}}\).

Czyli dobrze wyznaczyłeś dystrybuantę.

[pawellogrd]

Ok. Dziękuję.