Dowód dotyczący wartości oczekiwanej

[pawellogrd]

Wykazać, że jeżeli istnieją wartości oczekiwane \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ EY}\) zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależnych i typu ciągłego, to \(\displaystyle{ E(X+Y)=EX+EY}\).

Proszę o sprawdzenie poprawności mojego dowodu:

Założenie: \(\displaystyle{ X \in (a,b) \wedge Y \in (c,d)}\)

\(\displaystyle{ L=E(X+Y)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} (x+y)f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} x f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y + \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} y f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y = \int_{a}^{b} x\left( \int_{c}^{d} f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x + \int_{c}^{d} y\left( \int_{a}^{b} f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}x \right) \mbox{d}y \stackrel{*}{=} \int_{a}^{b} x f_X(x) \mbox{d}x + \int_{c}^{d} y f_Y(y) \mbox{d}y = EX + EY = P}\)

Gdzie w przejściu \(\displaystyle{ \stackrel{*}{=}}\) skorzystałem z faktu, że dla ciągłych 2-wymiarowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X \in (a,b)}\) i \(\displaystyle{ Y \in (c,d)}\) zachodzi: \(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{a}^{b} f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}y}\) oraz \(\displaystyle{ f_Y(y) = \int_{c}^{d} f_{X;Y}(x,y) \mbox{d}x}\).

Dla pełnej jasności: \(\displaystyle{ f_{X;Y} (x,y)}\) - gęstość łączna wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\), \(\displaystyle{ f_X(x)}\) - gęstość brzegowa zmiennej \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) - gęstość brzegowa zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

qed

[Alef]

No ale spójrz:

Jeżeli zdefiniujemy zmienną losową \(\displaystyle{ Z:=X+Y}\), to

\(\displaystyle{ E(Z)=\int_{\Omega}Z(\omega)dP(\omega)=\int_{R}zf_{Z}(z)dz=\int_{R}zf_{X+Y}(z)dz}\)

A Ty w swoim zbiorze nie dość że ograniczasz zbiór wartości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (ok, da to się łatwo obejść) ale używasz gestości łącznej wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) zamiast gęstości sumy dwóch zmiennych losowych.

Poza tym Twój problem jest jednowymiarowy a Ty stosujesz całki podwójne...

[pawellogrd]

Ok ale czy, np. funkcja gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) nie będzie tak naprawdę funkcją dwóch zmiennych? Czy to nie będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ f_Z(z) = f_{X+Y}(x,y)}\) ?

Udało mi się jeszcze znaleźć taki dowód:

\(\displaystyle{ \Omega_X = \left\{ x_1, x_2, ... \right\} \\ \Omega_Y = \left\{ y_1, y_2, ... \right\}}\)

\(\displaystyle{ E(X+Y)=\sum_j \sum_k \left( x_j + y_k \right) P(X=x_j,Y=y_k)=\sum_j x_j P(X=x_j) +\sum_k y_k P(X=y_k) = EX + EY}\)

Tylko to akurat jest dla zmiennej typu dyskretnego, a nie ciągłego.

[Alef]

\(\displaystyle{ E(X+Y)=\int_{\Omega}X(\omega)+Y(\omega)dP(\omega)=}\)

\(\displaystyle{ \int_{\Omega}X(\omega)dP(\omega)+\int_{\Omega}Y(\omega)dP(\omega)=E(X)+E(Y)}\)

Korzystasz z tego, że:
a) Istnieją wartości oczekiwane \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ E(Y)}\).
b) Z liniowości całki względem miary (możesz rozbić całkę z sumy na sumę całek).

Niezależność \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie jest Ci potrzebna. To zachodzi również dla zmiennych zależnych.

W przypadku dyskretnym całki to wypisane przez Ciebie sumy.