Prawdopodobienstwo wektor losowy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
raczka555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 2 paź 2012, o 11:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: raczka555 »

Jeżeli mam wektor losowy o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} 4x^2y^2+1 \ dla \ 0<x<1,0<y<1 \\ 0 \ dla \ pozostalych \end{cases}}\)
to jak wyznaczyc \(\displaystyle{ P(Y=\frac{1}{2})}\)?
Mam wyznaczony rozklad brzegowy \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) i gdyby to było \(\displaystyle{ P(Y<\frac{1}{2})}\) to bym policzyla \(\displaystyle{ \int_0^{\frac{1}{2}} f_Y(y) dy}\), ale jaką całkę policzyć, gdy mam równość?
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: tometomek91 »

Jeśli \(\displaystyle{ g(x)}\) jest gęstością rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ P(X \in A)=\int_{A} g(x)dx}\)
czyli u nas:
\(\displaystyle{ P(X \in \{ 0.5 \} )=\int_{ \{0.5 \} } f(y) dy}\)
teraz musisz obliczyć taką całkę po tym zbiorze.
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: Alef »

Sama wymyśliłaś ten problem?

Jak zmienna losowa ma rozkład ciągły to \(\displaystyle{ P(X=x_{0})=0}\).

Napisz proszę jaką postać ma Twoja gęstość brzegowa.

tometomek91 możesz napisać jak liczy się całkę po zbiorze miary zero?
raczka555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 2 paź 2012, o 11:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: raczka555 »

Ten problem powstal mi przy zadaniu, w ktorym mam podany rozklad wektora losowego i mam obliczyc \(\displaystyle{ P(x>\frac{1}{2}|y=\frac{1}{2})}\). Z definicji prawd. warunkowego to jest rowne \(\displaystyle{ \frac{P(X>\frac{1}{2}\wedge Y=\frac{1}{2})}{P(Y=\frac{1}{2})}}\). W liczniku policzylam calke od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ 1}\), podstawiajac do funkcji gestosci \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\) i zostal mi mianownik.
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: Alef »

Zła droga.

Jak masz rozkład wektora to możesz policzyć gęstość warunkową (poszukaj wzoru) i z tego policzyć Twoje prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X>\frac{1}{2}|Y=\frac{1}{2})}\).
Awatar użytkownika
Drzewo18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 26 lis 2012, o 17:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot
Podziękował: 63 razy
Pomógł: 3 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: Drzewo18 »

Też się zastanawiam nad tym zadaniem...
Niby jest wzór na gęstość warunkową \(\displaystyle{ f_{Y|X}(x,y)= \frac{f(x,y)}{f(x)}}\) i \(\displaystyle{ f_{X|Y}(x,y)= \frac{f(x,y)}{f(y)}}\), ale tu można tylko podstawić, jak jest podane np. \(\displaystyle{ P(X=1|Y=1)}\), a jak jest \(\displaystyle{ P(X>1|Y=1)}\), to już się nie da, no bo trzeba podstawiać osobno każdą liczbę większą od 1?
Wydaje mi się, że trzeba skorzystać z tego, że w rozkładach ciągłych \(\displaystyle{ P(Y<t)=P(Y\le T)}\), czyli \(\displaystyle{ P(Y=t)}\)=0.
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Prawdopodobienstwo wektor losowy

Post autor: tometomek91 »

Alef pisze: tometomek91 możesz napisać jak liczy się całkę po zbiorze miary zero?
Normalnie

tutaj wyjdzie zero
ODPOWIEDZ